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如图所示,斜率为1的直线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,与抛物线交于A,B两点,M为抛物线弧AB上的动点.
(1)若|AB|=8,求抛物线的方程;
(2)求S△ABM的最大值.
难度:中等 使用次数:157 入库时间:2019-12-06答案解:(1)由条件知lAB:y=x-,与y2=2px联立,消去y,得x2-3px+p2=0,则x1+x2=3p.由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=4p.
又因为|AB|=8,即p=2,则抛物线的方程为y2=4x. 。。。。。。。。。 4分
(2)方法一:由(1)知|AB|=4p,且lAB:y=x-,设M(,y0),则M到AB的距离为d=.
因为点M在直线AB的上方,所以-y0-<0,
则d==
==.
当y0=p时,dmax=p.
故S△ABM的最大值为×4p×p=p2.
方法二:由(1)知|AB|=4p,且lAB:y=x-,设与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为y=x+m,代入抛物线方程,得x2+2(m-p)x+m2=0.由Δ=4(m-p)2-4m2=0,得m=.与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为y=x+,
两直线间的距离为d==p,
故S△ABM的最大值为×4p×p=p2. 。。。。。。。。。 12分
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已知椭圆C:(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(–1, ),P4(1,)中恰有三点在椭圆C上.
(1)求C的方程;
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1, 证明:l过定点.
难度:中等 使用次数:128 入库时间:2019-12-06答案【解析】(1)根据椭圆对称性,必过、,又横坐标为1,椭圆必不过,所以过三点,将代入椭圆方程得:,解得,,
∴椭圆的方程为:.
(2)当斜率不存在时,设,
,得,此时过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足.
当斜率存在时,设,,
联立,整理得,
,,则
又,,此时,存在使得成立.∴直线的方程为,当时,,所以过定点.