如图所示,斜率为1的直线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,与抛物线交于A,B两点,M为抛物线弧AB上的动点.
(1)若|AB|=8,求抛物线的方程;
(2)求S△ABM的最大值.
解:(1)由条件知lAB:y=x-,与y2=2px联立,消去y,得x2-3px+p2=0,则x1+x2=3p.由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=4p.
又因为|AB|=8,即p=2,则抛物线的方程为y2=4x. 。。。。。。。。。 4分
(2)方法一:由(1)知|AB|=4p,且lAB:y=x-,设M(,y0),则M到AB的距离为d=.
因为点M在直线AB的上方,所以-y0-<0,
则d==
==.
当y0=p时,dmax=p.
故S△ABM的最大值为×4p×p=p2.
方法二:由(1)知|AB|=4p,且lAB:y=x-,设与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为y=x+m,代入抛物线方程,得x2+2(m-p)x+m2=0.由Δ=4(m-p)2-4m2=0,得m=.与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为y=x+,
两直线间的距离为d==p,
故S△ABM的最大值为×4p×p=p2. 。。。。。。。。。 12分
曲线的方程的定义:
在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
那么,这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线。
求曲线的方程的步骤:
(1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;
(2)写出适合条件的p(M)的集合,P={M|p(M)};
(3)用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;
(4)化方程f(x,y)=0为最简形式;
(5)说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。
求曲线的方程的步骤:
(1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;
(2)写出适合条件的p(M)的集合,P={M|p(M)};
(3)用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;
(4)化方程f(x,y)=0为最简形式;
(5)说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。
求曲线方程的常用方法:
(1)待定系数法这种方法需要预先知道曲线的方程,先设出来,然后根据条件列出方程(组)求解未知数。
(2)直译法就是把动点所满足的题设条件直接给表示出来,从而得到其横、纵坐标之间的关系式。(3)定义法就是由曲线的定义直接得到曲线方程。
(4)交轨法:就是在求两动曲线交点轨迹方程时,联立方程组消去参数,得到交点的轨迹方程。在求交点问题时常用此法。
(5)参数法就是通过中间变量找到y、x的间接关系,然后通过消参得出其直接关系。
(6)相关点法就是通过所求动点与已知动点的关系,来求曲线方程的方法。
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