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已知函数f(x)=2x-
(1)判断函数的奇偶性,并证明;
(2)用单调性的定义证明函数f(x)=2x-在(0,+∞)上单调递增.
难度:中等 使用次数:199 入库时间:2019-12-06答案(1)解:函数f(x)=2x-是奇函数.
证明如下:易知f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称.
因为f(-x)=2(-x)-=-2x+=-=-f(x),所以f(x)是奇函数.
(2)证明:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,
则f(x2)-f(x1)=2x2--
=2(x2-x1)+5
=(x2-x1),
因为0<x1<x2,所以x2-x1>0,x1x2>0,
所以f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),
所以f(x)=2x-在(0,+∞)上单调递增.
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已知函数f(x)=lg(1-x)-lg(1+x).
(1)求函数的定义域;
(2)若f(x)=lg(1+x),求x的值;
(3)求证:当a,b∈(-1,1)时, f(a)+f(b)=.
难度:中等 使用次数:141 入库时间:2019-12-06答案【解析】(1)由1-x>0,1+x>0得函数的定义域为(-1,1).
(2)f(x)=lg(1+x),即lg(1-x)-lg(1+x)=lg(1+x),
所以lg=lg(1+x),所以=1+x且-1<x<1,所以x=0.
(3)因为f(x)=lg(1-x)-lg(1+x)=lg,x∈(-1,1),
所以a,b∈(-1,1)时,f(a)+f(b)=lg+lg
=lg,
又因为f=lg=lg
=lg,
所以f(a)+f(b)=f.
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已知函数是定义在R上的奇函数,其中g(x)为指数函数,且y=g(x)的图象过定点(2,9).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若关于x的方程,f(x)=a有解,求实数a的取值范围;
(3)若对任意的t∈[0,5],不等式f(t2+2kt)+f(-2t2-4)>0恒成立,求实数k的取值范围.
难度:中等 使用次数:185 入库时间:2019-12-06答案解:(1)设g(x)=ax(a>0,且a≠1)),则a2=9,
所以a=-3 (舍去)或a=3,
所以g(x)=3x,f(x)=.
又f(x)为奇函数,且定义域为R,
所以f(0)=0,即=0,所以m=1,
所以f(x)=.
(2)
(3)设x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=-=.
因为x1<x2,所以3x2-3x1>0,
所以>0,
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
所以函数f(x)在R上单调递减.
要使对任意的t∈[0,5],
f(t2+2kt)+f(-2t2-4)>0恒成立,
即对任意的t∈[0,5],
f(t2+2kt)>-f(-2t2-4)恒成立.
因为f(x)为奇函数,
所以f(t2+2kt)>f(2t2+4)恒成立.
又因为函数f(x)在R上单调递减,
所以对任意的t∈[0,5],t2+2kt<2t2+4恒成立,
即对任意的t∈[0,5],t2-2kt+4>0恒成立.
令h(t)=t2-2kt+4,t∈[0,5],
时,
‚
所以,.
ƒ,,无解.
综上,k<2.