已知函数是定义在R上的奇函数,其中g(x)为指数函数,且y=g(x)的图象过定点(2,9).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若关于x的方程,f(x)=a有解,求实数a的取值范围;
(3)若对任意的t∈[0,5],不等式f(t2+2kt)+f(-2t2-4)>0恒成立,求实数k的取值范围.
解:(1)设g(x)=ax(a>0,且a≠1)),则a2=9,
所以a=-3 (舍去)或a=3,
所以g(x)=3x,f(x)=.
又f(x)为奇函数,且定义域为R,
所以f(0)=0,即=0,所以m=1,
所以f(x)=.
(2)
(3)设x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=-=.
因为x1<x2,所以3x2-3x1>0,
所以>0,
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
所以函数f(x)在R上单调递减.
要使对任意的t∈[0,5],
f(t2+2kt)+f(-2t2-4)>0恒成立,
即对任意的t∈[0,5],
f(t2+2kt)>-f(-2t2-4)恒成立.
因为f(x)为奇函数,
所以f(t2+2kt)>f(2t2+4)恒成立.
又因为函数f(x)在R上单调递减,
所以对任意的t∈[0,5],t2+2kt<2t2+4恒成立,
即对任意的t∈[0,5],t2-2kt+4>0恒成立.
令h(t)=t2-2kt+4,t∈[0,5],
时,
‚
所以,.
ƒ,,无解.
综上,k<2.
集合的概念:
1、集合:一般地我们把一些能够确定的不同对象的全体称为集合(简称集); 集合通常用大写的拉丁字母表示,如A、B、C、……。
元素:集合中每个对象叫做这个集合的元素,元素通常用小写的拉丁字母表示,如a、b、c、……
2、元素与集合的关系:
(1)属于:如果a是集合A的元素,就说a属于A,记作a∈A
(2)不属于:如果a不是集合A的元素,就说a不属于A,记作 3、集合分类根据集合所含元素个属不同,可把集合分为如下几类:
(1)把不含任何元素的集合叫做空集Ф
(2)含有有限个元素的集合叫做有限集
(3)含有无穷个元素的集合叫做无限集
常用数集及其表示方法:
(1)非负整数集(自然数集):全体非负整数的集合.记作N
(2)正整数集:非负整数集内排除0的集.记作N*或N+
(3)整数集:全体整数的集合.记作Z
(4)有理数集:全体有理数的集合.记作Q
(5)实数集:全体实数的集合.记作R
集合中元素的特性:
(1)确定性:给定一个集合,任何对象是不是这个集合的元素是确定的了. 任何一个元素要么属于该集合,要么不属于该集合,二者必具其一。
(2)互异性:集合中的元素一定是不同的.
(3)无序性:集合中的元素没有固定的顺序.
易错点:
(1)自然数集包括数0.
(2)非负整数集内排除0的集.记作N*或N+,Q、Z、R等其它数集内排除0的集,也这样表示,例如,整数集内排除0的集,表示成Z
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