(1) 见解析

(2) 见解析

【分析】（ 1 ）方法一：根据 ，利用柯西不等式即可得证；

（ 2 ）由（ 1 ）结合已知可得 ，即可得到 ，再根据权方和不等式即可得证 .

【详解】（ 1 ） [ 方法一 ] ：【最优解】柯西不等式

由柯西不等式有 ，

所以 ，当且仅当 时，取等号，所以 .

[ 方法二 ] ：基本不等式

由 ， ， ， ，

当且仅当 时，取等号，所以 .

（ 2 ）证明：因为 ， ， ， ，由（ 1 ）得 ，

即 ，所以 ，

由权方和不等式知 ，

当且仅当 ，即 ， 时取等号，

所以 .

【点睛】（ 1 ）方法一：利用柯西不等式证明，简洁高效，是该题的最优解；

方法二：对于柯西不等式不作为必须掌握内容的地区同学，采用基本不等式累加，也是不错的方法．

(1) ；

(2) 的交点坐标为 ， ， 的交点坐标为 ， ．

【分析】 (1) 消去 ，即可得到 的普通方程；

(2) 将曲线 的方程化成普通方程，联立求解即解出．

【详解】（ 1 ）因为 ， ，所以 ，即 的普通方程为 ．

（ 2 ）因为 ，所以 ，即 的普通方程为 ，

由 ，即 的普通方程为 ．

联立 ，解得： 或 ，即交点坐标为 ， ；

联立 ，解得： 或 ，即交点坐标为 ， ．

(1) ；

(2) .

【分析】（ 1 ）由抛物线的定义可得 ，即可得解；

（ 2 ）法一：设点的坐标及直线 ，由韦达定理及斜率公式可得 ，再由差角的正切公式及基本不等式可得 ，设直线 ，结合韦达定理可解 .

【详解】（ 1 ）抛物线的准线为 ，当 与 x 轴垂直时，点 M 的横坐标为 p ，

此时 ，所以 ，

所以抛物线 C 的方程为 ；

（ 2 ） [ 方法一 ] ：【最优解】直线方程横截式

设 ，直线 ，

由 可得 ， ，

由斜率公式可得 ， ，

直线 ，代入抛物线方程可得 ，

，所以 ，同理可得 ，

所以

又因为直线 MN 、 AB 的倾斜角分别为 ，所以 ，

若要使 最大，则 ，设 ，则 ，

当且仅当 即 时，等号成立，

所以当 最大时， ，设直线 ，

代入抛物线方程可得 ，

，所以 ，

所以直线 .

[ 方法二 ] ：直线方程点斜式

由题可知，直线 MN 的斜率存在 .

设 , 直线

由 得： ， , 同理， .

直线 MD : , 代入抛物线方程可得： ，同理， .

代入抛物线方程可得 : , 所以 ，同理可得 ，

由斜率公式可得：

（下同方法一）若要使 最大，则 ，

设 ，则 ，

当且仅当 即 时，等号成立，

所以当 最大时， ，设直线 ，

代入抛物线方程可得 ， ，所以 ，所以直线 .

[ 方法三 ] ：三点共线

设 ，

设 , 若 P 、 M 、 N 三点共线，由

所以 ，化简得 ，

反之，若 , 可得 MN 过定点

因此，由 M 、 N 、 F 三点共线，得 ，

由 M 、 D 、 A 三点共线，得 ，

由 N 、 D 、 B 三点共线，得 ，

则 ， AB 过定点（ 4,0 ）

（下同方法一）若要使 最大，则 ，

设 ，则 ，

当且仅当 即 时，等号成立，

所以当 最大时， ，所以直线 .

【整体点评】（ 2 ）法一：利用直线方程横截式，简化了联立方程的运算，通过寻找直线 的斜率关系，由基本不等式即可求出直线 AB 的斜率，再根据韦达定理求出直线方程，是该题的最优解，也是通性通法；

法二：常规设直线方程点斜式，解题过程同解法一；

法三：通过设点由三点共线寻找纵坐标关系，快速找到直线 过定点，省去联立过程，也不失为一种简化运算的好方法．

(1)3

(2)

【分析】（ 1 ）先由 上的切点求出切线方程，设出 上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数值求出 即可；

（ 2 ）设出 上的切点坐标，分别由 和 及切点表示出切线方程，由切线重合表示出 ，构造函数，求导求出函数值域，即可求得 的取值范围 .

【详解】（ 1 ）由题意知， ， ， ，则 在点 处的切线方程为 ，

即 ，设该切线与 切于点 ， ，则 ，解得 ，则 ，解得 ；

（ 2 ） ，则 在点 处的切线方程为 ，整理得 ，

设该切线与 切于点 ， ，则 ，则切线方程为 ，整理得 ，

则 ，整理得 ，

令 ，则 ，令 ，解得 或 ，

令 ，解得 或 ，则 变化时， 的变化情况如下表：

则 的值域为 ，故 的取值范围为 .

(1) 证明见解析；

(2) ．

【分析】（ 1 ）分别取 的中点 ，连接 ，由平面知识可知 ， ，依题从而可证 平面 ， 平面 ，根据线面垂直的性质定理可知 ，即可知四边形 为平行四边形，于是 ，最后根据线面平行的判定定理即可证出；

（ 2 ）再分别取 中点 ，由（ 1 ）知，该几何体的体积等于长方体 的体积加上四棱锥 体积的 倍，即可解出．

【详解】（ 1 ）如图所示：

分别取 的中点 ，连接 ，因为 为全等的正三角形，所以 ， ，又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，同理可得 平面 ，根据线面垂直的性质定理可知 ，而 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．

（ 2 ） [ 方法一 ] ：分割法一

如图所示：

分别取 中点 ，由（ 1 ）知， 且 ，同理有， ， ， ，由平面知识可知， ， ， ，所以该几何体的体积等于长方体 的体积加上四棱锥 体积的 倍．

因为 ， ，点 到平面 的距离即为点 到直线 的距离 ， ，所以该几何体的体积

．

[ 方法二 ] ：分割法二

如图所示：

连接 AC,BD, 交于 O ，连接 OE,OF,OG,OH. 则该几何体的体积等于四棱锥 O-EFGH 的体积加上三棱锥 A-OEH 的 倍 , 再加上三棱锥 E-OAB 的四倍．容易求得， OE=OF=OG=OH=8, 取 EH 的中点 P ，连接 AP,OP. 则 EH 垂直平面 APO. 由图可知，三角形 APO, 四棱锥 O-EFGH 与三棱锥 E-OAB 的高均为 EM 的长 . 所以该几何体的体积

(1) 证明见解析；

(2) ．

【分析】（ 1 ）依题意可得 ，根据 ，作差即可得到 ，从而得证；

（ 2 ）法一：由（ 1 ）及等比中项的性质求出 ，即可得到 的通项公式与前 项和，再根据二次函数的性质计算可得．

【详解】（ 1 ）因为 ，即 ① ，

当 时， ② ，

① ② 得， ，

即 ，

即 ，所以 ， 且 ，

所以 是以 为公差的等差数列．

（ 2 ） [ 方法一 ] ：二次函数的性质

由（ 1 ）可得 ， ， ，

又 ， ， 成等比数列，所以 ，

即 ，解得 ，

所以 ，所以 ，

所以，当 或 时， ．

[ 方法二 ] ：【最优解】邻项变号法

由（ 1 ）可得 ， ， ，

又 ， ， 成等比数列，所以 ，

即 ，解得 ，

所以 ，即有 .

则当 或 时， ．

【整体点评】（ 2 ）法一：根据二次函数的性质求出 的最小值，适用于可以求出 的表达式；

法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．

(1) A ， B 两家公司长途客车准点的概率分别为 ，

(2) 有

【分析】（ 1 ）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；

（ 2 ）根据表格中数据及公式计算 ，再利用临界值表比较即可得结论 .

【详解】（ 1 ）根据表中数据， A 共有班次 260 次，准点班次有 240 次，

设 A 家公司长途客车准点事件为 M ，

则 ；

B 共有班次 240 次，准点班次有 210 次，

设 B 家公司长途客车准点事件为 N ，

则 .

A 家公司长途客车准点的概率为 ；

B 家公司长途客车准点的概率为 .

（ 2 ）列联表

= ，

根据临界值表可知，有 的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关 .

/

【分析】设 ，利用余弦定理表示出 后，结合基本不等式即可得解 .

【详解】 [ 方法一 ] ：余弦定理

设 ，

则在 中， ，

在 中， ，

所以

，

当且仅当 即 时，等号成立，

所以当 取最小值时， .

故答案为： .

[ 方法二 ] ：建系法

令 BD=t ，以 D 为原点， OC 为 x 轴，建立平面直角坐标系 .

则 C （ 2t,0 ）， A （ 1 ， ）， B （ -t,0 ）

[ 方法三 ] ：余弦定理

设 BD=x,CD=2x. 由余弦定理得

， ，

， ，

令 ，则 ，

，

，

当且仅当 ，即 时等号成立 .

[ 方法四 ] ：判别式法

设 ，则

在 中， ，

在 中， ，

所以 ，记 ，

则

由方程有解得：

即 ，解得：

所以 ，此时

所以当 取最小值时， ，即 .

2 （满足 皆可）

【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线 中 即可求得满足要求的 e 值 .

【详解】解： ，所以 C 的渐近线方程为 ,

结合渐近线的特点，只需 ，即 ，

可满足条件 “ 直线 与 C 无公共点 ”

所以 ，

又因为 ，所以 ，

故答案为： 2 （满足 皆可）

【分析】设出点 M 的坐标，利用 和 均在 上，求得圆心及半径，即可得圆的方程 .

【详解】 [ 方法一 ] ：三点共圆

∵ 点 M 在直线 上，

∴ 设点 M 为 ，又因为点 和 均在 上，

∴ 点 M 到两点的距离相等且为半径 R ，

∴ ，

，解得 ，

∴ ， ，

的方程为 .

故答案为：

[ 方法二 ] ：圆的几何性质

由题可知， M 是以（ 3 ， 0 ）和（ 0 ， 1 ）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4 与直线 的交点 (1,-1) . , 的方程为 .

故答案为：