记 为数列
的前 n 项和．已知
．
(1) 证明： 是等差数列；
(2) 若 成等比数列，求
的最小值．
【收录时间】
2023-06-19
【知识点】
数列
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(1) 证明见解析；
(2) ．
【分析】（ 1 ）依题意可得 ，根据
，作差即可得到
，从而得证；
（ 2 ）法一：由（ 1 ）及等比中项的性质求出 ，即可得到
的通项公式与前
项和，再根据二次函数的性质计算可得．
【详解】（ 1 ）因为 ，即
① ，
当 时，
② ，
① ② 得，
，
即 ，
即 ，所以
，
且
，
所以 是以
为公差的等差数列．
（ 2 ） [ 方法一 ] ：二次函数的性质
由（ 1 ）可得 ，
，
，
又 ，
，
成等比数列，所以
，
即 ，解得
，
所以 ，所以
，
所以，当 或
时，
．
[ 方法二 ] ：【最优解】邻项变号法
由（ 1 ）可得 ，
，
，
又 ，
，
成等比数列，所以
，
即 ，解得
，
所以 ，即有
.
则当 或
时，
．
【整体点评】（ 2 ）法一：根据二次函数的性质求出 的最小值，适用于可以求出
的表达式；
法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．
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2023-06-19
解答题
容易
wenkun
考点梳理：
根据可圈可点权威老师分析，试题 "
记为数列的前n项和．已知．(1)证明：是等差数列；(2)若成等比数列，求的最小值．
" 主要考察你对
数列的概念及简单表示法
等考点的理解。关于这些考点的"梳理资料"如下:
◎ 数列的概念及简单表示法的定义
数列的定义：
一般地按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项，数列的一般形式可以写成
，简记为数列{an}，其中数列的第一项a1也称首项，an是数列的第n项，也叫数列的通项2、数列的递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第2项（或某一项）开始的任一项an与它的前一项an-1（或前几项）间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，递推公式也是给出数列的一种方法。
◎ 数列的概念及简单表示法的知识扩展
1、定义：一般地按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项，数列的一般形式可以写成，简记为数列{an}，其中数列的第一项a1也称首项，an是数列的第n项，也叫数列的通项2、数列的递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第2项（或某一项）开始的任一项an与它的前一项an-1（或前几项）间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，递推公式也是给出数列的一种方法。
◎ 数列的概念及简单表示法的知识拓展
从函数角度看数列：
数列可以看作是一个定义域为正整数集N'（或它的有限子集{l，2，3，…，n}）的函数，即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，这里说的函数是一种特殊函数，其特殊性为自变量只能取正整数，且只能从I开始依次增大．可以将序号作为横坐标，相应的项作为纵坐标描点画图来表示一个数列，从数列的图象可以看出数列中各项的变化情况。
特别提醒：
①数列是一个特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题；
②还要注意数列的特殊性（离散型），由于它的定义域是N'或它的子集{1，2，…，n}，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性．
◎ 数列的概念及简单表示法的教学目标
1、理解数列的概念。
2、理解数列的函数性质。
3、会正确地表示数列。
2、理解数列的函数性质。
3、会正确地表示数列。
◎ 数列的概念及简单表示法的考试要求
能力要求：应用
课时要求：35
考试频率：常考
分值比重：6
课时要求：35
考试频率：常考
分值比重：6