已知数列 的前 项和为 , ,且对任意的 均有 ,则下列三个命题中,所有真命题的序号是( )
① 存在实数 ,使得 为等差数列;
② 存在实数 ,使得 为等比数列;
③ 若存在 ,使得 ,则实数 唯一 .
A . ① B . ①③ C . ②③ D . ①②③
A
【分析】 先求出 ,由此容易判断 ①② ,对于 ③ ,当 为偶数时, ,当 为奇数时, , 若存在 ,使得 , 则 ,且 ,由此可分 为奇数和偶数讨论即可判断
【详解】因为 ,
所以 ,则 ,
所以数列 、 为等差数列,且公差为 2 ,
由 , 得 ,
所以 ,
① 当 时, ,所以 ,所以 为等差数列, ① 对;
② 若存在实数 ,使得 为等比数列,则 ,即 ,
因为方程组无解,所以 不可能为等比数列, ② 错;
③ 当 为偶数时,因为 , , , ,
将上述各式相加,可得 ,
当 为奇数时, ,
若存在 ,使得 ,所以 ,且 ,
当 为偶数时, ,解得 ;
当 为奇数时, ,解得 ,
所以 不唯一, ③ 错.
故选: A
数列的定义:
一般地按一定次序排列的一列数叫作数列,数列中的每一个数叫作这个数列的项,数列的一般形式可以写成,简记为数列{an},其中数列的第一项a1也称首项,an是数列的第n项,也叫数列的通项2、数列的递推公式:如果已知数列的第1项(或前几项),且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式,递推公式也是给出数列的一种方法。
1、定义:一般地按一定次序排列的一列数叫作数列,数列中的每一个数叫作这个数列的项,数列的一般形式可以写成,简记为数列{an},其中数列的第一项a1也称首项,an是数列的第n项,也叫数列的通项2、数列的递推公式:如果已知数列的第1项(或前几项),且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式,递推公式也是给出数列的一种方法。
从函数角度看数列:
数列可以看作是一个定义域为正整数集N'(或它的有限子集{l,2,3,…,n})的函数,即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值,这里说的函数是一种特殊函数,其特殊性为自变量只能取正整数,且只能从I开始依次增大.可以将序号作为横坐标,相应的项作为纵坐标描点画图来表示一个数列,从数列的图象可以看出数列中各项的变化情况。
特别提醒:
①数列是一个特殊的函数,因此在解决数列问题时,要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题,即用共性来解决特殊问题;
②还要注意数列的特殊性(离散型),由于它的定义域是N'或它的子集{1,2,…,n},因而它的图象是一系列孤立的点,而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线,因此在解决问题时,要充分利用这一特殊性.
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