如图，已知 平面
，
，
，
，
，
，点
分别是
的中点．
（ 1 ）求证： 平面
；
（ 2 ）求直线 与平面
所成角的大小．
【收录时间】
2021-10-18
【知识点】
点直线平面之间的位置
查看答案
加入试题篮
（ 1 ）证明见解析；（ 2 ） 30°.
【分析】
推导出 ，从而
⊥ 平面
，进而
⊥
，由此能证明
⊥ 平面
；
(2 ) 取 中点
和
中点
，连接
，
，
，推导出四边形
是平行四边形，从而
, 进而
⊥ 平面
,
即为直线
与平面
所成角，最后根据已知条件求出来即可 .
【详解】
( 1 ) 证明： ∵ AB = AC ， E 为 BC 中点， ∴ AE ⊥ BC
∵ ⊥ 平面 ABC ，
//
∴ ⊥ 平面 ABC
∴ ⊥ AE
又 ∵ BC ∩ = B
∴ AE ⊥ 平面
如图， 取 中点
和
中点
，连接
，
，
∵ N 和 E 分别为 和 BC 的中点，
，
∴
∴ 四边形 是平行四边形
∴
又 ∵ ⊥ 平面
∴ ⊥ 平面
∴ 即为直线
与平面
所成角，
在 中，可得
= 2
∴ =
= 2
∵
∴ 且
又由
∴
在 中，
在 中，
∴ , 即直线
与平面
所成角的大小为
单日会员可无限次解锁答案，低至9.9》
2021-10-18
解答题
中等
韩立彬
考点梳理：
根据可圈可点权威老师分析，试题 "
如图，已知平面，，，，，，点分别是的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的大小．
" 主要考察你对
平面的基本性质
等考点的理解。关于这些考点的"梳理资料"如下:
◎ 平面的基本性质的定义
平面的概念：
平面是无限伸展的；
平面的表示：
通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC。
平面的画法：
①通常把水平的平面画成锐角为45。，横边长等于其邻边长2倍的平行四边形，如图1所示．②如果一个平面被另一个平面挡住，则被遮挡的部分用虚线画出来，如图2所示，
◎ 平面的基本性质的知识扩展
1、平面的概念：平面是无限伸展的；
2、平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC。
3、平面的性质：
（1）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。
用符号语言表示公理1：
。
应用：判断直线是否在平面内
（2）公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。
公理2及其推论作用：它是空间内确定平面的依据。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号语言：P∈α，且P∈β
α∩β=l，且P∈l。
公理3的作用：①它是判定两个平面相交的方法；
②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点；
③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。
2、平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC。
3、平面的性质：
（1）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。
用符号语言表示公理1：
。 应用：判断直线是否在平面内
（2）公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。
公理2及其推论作用：它是空间内确定平面的依据。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号语言：P∈α，且P∈β
α∩β=l，且P∈l。 公理3的作用：①它是判定两个平面相交的方法；
②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点；
③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。
◎ 平面的基本性质的特性
平面的性质：
（1）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。
用符号语言表示公理1：。
应用：判断直线是否在平面内
（2）公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。
公理2及其推论作用：它是空间内确定平面的依据。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号语言：P∈α，且P∈βα∩β=l，且P∈l。
公理3的作用：①它是判定两个平面相交的方法；
②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点；
③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。
◎ 平面的基本性质的知识点拨
立体几何问题的重要方法：
根据平面的基本性质，把空间图形转化为平面图形来解决，这是立体几何中解决问题的重要思想方法．通常要解决以下四类问题：
(l)证明空间三点共线问题：证明这类问题一般根据公理3证明这些点都在两个平面的交线上，即先确定出某两个点在某两个平面上，再证明第三个点既在第一个平面内，又在第二个平面内，当然必在两平面的交线上．
(2)证明空间三线共点问题：证明这类问题一般根据公理l和公理3，把其中一条直线作为分别通过其余丽条直线的两个平面的交线，然后证明两条直线的交点在此直线上．
(3)证明空间点共面问题：可根据公理2，先取三点（不共线的三点）确定一个平面，再证其他各点都在这个平面内．
(4)证明空间直线共面问题一般根据公理2及推论，先取两条（相交或平行）直线确定一个平面，再证其余直线在这个平面内，或者由这些直线中取适当的两条确定若干个平面，再一一确定这些平面重合．
基本性质2及其三个推论可以用来证明点、线共面，证明此类问题，常用的方法有：
①纳入法：先利用基本性质2及其三个推论证明某些点和直线在一个确定的平面内，再证明其余的点和直线也在这个确定的平面内．
②同一法：先利用基本性质2及其三个推论证明某些点和直线在一个确定的平面内，另一些点和直线在另外一个确定的平面内，……，最后证明这些平面重合．
③反证法：可以假设这些点和直线不在同一个平面内，然后通过推理，找出矛盾，从而否定假设，肯定结论.
◎ 平面的基本性质的知识拓展
点线面位置关系的符号语言如下表：
◎ 平面的基本性质的教学目标
1、理解空间直线、平面位置关系的定义。
2、了解如下可以作为推理依据的公理和定理。
3、会判断直线与平面、平面与平面的位置关系。
2、了解如下可以作为推理依据的公理和定理。
3、会判断直线与平面、平面与平面的位置关系。
◎ 平面的基本性质的考试要求
能力要求：知道
课时要求：40
考试频率：选考
分值比重：3
课时要求：40
考试频率：选考
分值比重：3