如图，在棱长为 2 的正方体 中， E 为棱 BC 的中点， F 为棱 CD 的中点．
（ I ）求证： 平面
；
（ II ）求直线 与平面
所成角的正弦值．
（ III ）求二面角 的正弦值．
【收录时间】
2021-09-26
【知识点】
空间中的向量与立体几何
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（ I ）证明见解析；（ II ） ；（ III ）
.
【分析】
（ I ）建立空间直角坐标系，求出 及平面
的一个法向量
，证明
，即可得证；
（ II ）求出 ，由
运算即可得解；
（ III ）求得平面 的一个法向量
，由
结合同角三角函数的平方关系即可得解 .
【详解】
（ I ）以 为原点，
分别为
轴，建立如图空间直角坐标系，
则 ,
,
,
,
,
,
，
因为 E 为棱 BC 的中点， F 为棱 CD 的中点，所以 ，
，
所以 ,
,
,
设平面 的一个法向量为
，
则 ，令
，则
，
因为 ，所以
，
因为 平面
，所以
平面
；
（ II ）由（ 1 ）得， ，
设直线 与平面
所成角为
，
则 ；
（ III ）由正方体的特征可得，平面 的一个法向量为
，
则 ，
所以二面角 的正弦值为
.
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2021-09-26
解答题
中等
陈羽
考点梳理：
根据可圈可点权威老师分析，试题 "
如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．（I）求证：平面；（II）求直线与平面所成角的正弦值．（III）求二面角的正弦值．
" 主要考察你对
向量平移
等考点的理解。关于这些考点的"梳理资料"如下:
◎ 向量平移的定义
点的平移公式:
；
注：图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形F′上的对应点为P′（x′，y′），且
的坐标为（h，k）。
◎ 向量平移的知识扩展
1、点的平移公式；
注：图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形F′上的对应点为P′（x′，y′），且的坐标为（h，k）。
2、“按向量平移”的几个结论：
（1）点P（x，y）按向量a=（h，k）平移后得到点P′（x+h，y+k）；
（2）函数y=f（x）的图象C按向量a=（h，k）平移后得到图象C′，则C′的函数解析式为y=f（x-h）+k；
（3）图象C′按向量a=（h，k）平移后得到图象C，若C的解析式y=f（x），则C′的函数解析式为y=f（x+h）-k；
（4）曲线C：f（x，y）=0按向量a=（h，k）平移后得到图象C′，则C′的方程为f（x-h，y-k）=0；
（5）向量m=（x，y）按向量a=（h，k）平移后得到的向量仍然为m=（x，y）。
； 注：图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形F′上的对应点为P′（x′，y′），且
的坐标为（h，k）。 2、“按向量平移”的几个结论：
（1）点P（x，y）按向量a=（h，k）平移后得到点P′（x+h，y+k）；
（2）函数y=f（x）的图象C按向量a=（h，k）平移后得到图象C′，则C′的函数解析式为y=f（x-h）+k；
（3）图象C′按向量a=（h，k）平移后得到图象C，若C的解析式y=f（x），则C′的函数解析式为y=f（x+h）-k；
（4）曲线C：f（x，y）=0按向量a=（h，k）平移后得到图象C′，则C′的方程为f（x-h，y-k）=0；
（5）向量m=（x，y）按向量a=（h，k）平移后得到的向量仍然为m=（x，y）。
◎ 向量平移的知识点拨
“按向量平移”的几个结论：
（1）点P（x，y）按向量a=（h，k）平移后得到点P′（x+h，y+k）；
（2）函数y=f（x）的图象C按向量a=（h，k）平移后得到图象C′，则C′的函数解析式为y=f（x-h）+k；
（3）图象C′按向量a=（h，k）平移后得到图象C，若C的解析式y=f（x），则C′的函数解析式为y=f（x+h）-k；
（4）曲线C：f（x，y）=0按向量a=（h，k）平移后得到图象C′，则C′的方程为f（x-h，y-k）=0；
（5）向量m=（x，y）按向量a=（h，k）平移后得到的向量仍然为m=（x，y）。
◎ 向量平移的教学目标
1、了解向量的平移的概念。
2、会用向量的平移解决相关问题。
2、会用向量的平移解决相关问题。
◎ 向量平移的考试要求
能力要求：了解
课时要求：8
考试频率：少考
分值比重：2
课时要求：8
考试频率：少考
分值比重：2