设函数 f（x）=ln（a-x），已知x =0 是函数 y = xf（x）的极值点。
（1） 求 a；
（2） 设函数 g（x）= 
，证明： g（x）＜1.
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2021-06-10
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（ 1） 
=x ′f (x)+xf ′ (x)
当 x =0 时， 
= f(0)=lna=0, 所以 a =1
（ 2）由f (x)=ln(1-x), 得 x＜1
当 0＜x＜1时，f (x)=ln(1 - x )＜0，x f(x) ＜ 0；当x＜0时，f (x)=ln(1 -x)＞0，x f(x) ＜ 0
故即证 x+ f(x) ＞ x f(x),x+ln(1-x)-xln(1-x) ＞ 0
令 1- x = t(t ＞ 0且t≠ 1) ， x =1-t, 即证 1- t+lnt-(1-t)lnt ＞ 0
令 f (t)=1-t+lnt-(1 -t )lnt, 则
所以 f (t) 在（ 0, 1 ）上单调递减，在（ 1 ,+ ∞ ） 上单调递增，故 f (t) ＞ f（1）= 0 ,得证。
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2021-06-10
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陈军