在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，
，
，
，
.
（1）求证：
平面FBC；
（2）线段ED上是否存在点Q，使平面
平面QBC？证明你的结论.
【收录时间】
2021-01-22
【知识点】
点直线平面之间的位置
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（1）证明见解析（2）线段ED上不存在点Q，使平面
平面QBC,证明见解析
【分析】
（1）利用余弦定理和勾股定理的逆定理可得
，再利用已知
和线面垂直的判定定理即可证明；
（2）通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量是否垂直来判断即可.
【详解】
解：（1）证明：
，
，
在
中，由余弦定理可得
，
，
.
.
又
，
，
平面FBC.
（2）线段ED上不存在点Q，使平面平面QBC.
证明如下：
因为
平面FBC，所以
.
因为
，所以
平面ABCD.
所以CA，CF，CB两两互相垂直，
如图建立的空间直角坐标系
.
在等腰梯形ABCD中，可得
.
设
，所以
，
，
，
，
.
所以
，
，
.
设平面EAC的法向量为
，则
，
所以
，取
，得
.
假设线段ED上存在点Q，设
，
所以
.
设平面QBC的法向量为
，则
，
所以
，
取
，得
.
要使平面平面QBC，只需
，
即
，此方程无解.
所以线段ED上不存在点Q，使平面平面QBC.
【点睛】
本题综合考查了线面、面面垂直的判定定理与性质定理、通过距离空间直角坐标系利用两个平面的法向量解决面面垂直等基础知识与基本技能，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力.
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2021-01-22
解答题
中等
姚妍
考点梳理：
根据可圈可点权威老师分析，试题 "
在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，，，，. （1）
" 主要考察你对
平面的基本性质
等考点的理解。关于这些考点的"梳理资料"如下:
◎ 平面的基本性质的定义
平面的概念：
平面是无限伸展的；
平面的表示：
通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC。
平面的画法：
①通常把水平的平面画成锐角为45。，横边长等于其邻边长2倍的平行四边形，如图1所示．②如果一个平面被另一个平面挡住，则被遮挡的部分用虚线画出来，如图2所示，
◎ 平面的基本性质的知识扩展
1、平面的概念：平面是无限伸展的；
2、平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC。
3、平面的性质：
（1）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。
用符号语言表示公理1：
。
应用：判断直线是否在平面内
（2）公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。
公理2及其推论作用：它是空间内确定平面的依据。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号语言：P∈α，且P∈β
α∩β=l，且P∈l。
公理3的作用：①它是判定两个平面相交的方法；
②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点；
③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。
2、平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC。
3、平面的性质：
（1）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。
用符号语言表示公理1：
。 应用：判断直线是否在平面内
（2）公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。
公理2及其推论作用：它是空间内确定平面的依据。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号语言：P∈α，且P∈β
α∩β=l，且P∈l。 公理3的作用：①它是判定两个平面相交的方法；
②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点；
③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。
◎ 平面的基本性质的特性
平面的性质：
（1）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。
用符号语言表示公理1：。
应用：判断直线是否在平面内
（2）公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。
公理2及其推论作用：它是空间内确定平面的依据。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号语言：P∈α，且P∈βα∩β=l，且P∈l。
公理3的作用：①它是判定两个平面相交的方法；
②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点；
③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。
◎ 平面的基本性质的知识点拨
立体几何问题的重要方法：
根据平面的基本性质，把空间图形转化为平面图形来解决，这是立体几何中解决问题的重要思想方法．通常要解决以下四类问题：
(l)证明空间三点共线问题：证明这类问题一般根据公理3证明这些点都在两个平面的交线上，即先确定出某两个点在某两个平面上，再证明第三个点既在第一个平面内，又在第二个平面内，当然必在两平面的交线上．
(2)证明空间三线共点问题：证明这类问题一般根据公理l和公理3，把其中一条直线作为分别通过其余丽条直线的两个平面的交线，然后证明两条直线的交点在此直线上．
(3)证明空间点共面问题：可根据公理2，先取三点（不共线的三点）确定一个平面，再证其他各点都在这个平面内．
(4)证明空间直线共面问题一般根据公理2及推论，先取两条（相交或平行）直线确定一个平面，再证其余直线在这个平面内，或者由这些直线中取适当的两条确定若干个平面，再一一确定这些平面重合．
基本性质2及其三个推论可以用来证明点、线共面，证明此类问题，常用的方法有：
①纳入法：先利用基本性质2及其三个推论证明某些点和直线在一个确定的平面内，再证明其余的点和直线也在这个确定的平面内．
②同一法：先利用基本性质2及其三个推论证明某些点和直线在一个确定的平面内，另一些点和直线在另外一个确定的平面内，……，最后证明这些平面重合．
③反证法：可以假设这些点和直线不在同一个平面内，然后通过推理，找出矛盾，从而否定假设，肯定结论.
◎ 平面的基本性质的知识拓展
点线面位置关系的符号语言如下表：
◎ 平面的基本性质的教学目标
1、理解空间直线、平面位置关系的定义。
2、了解如下可以作为推理依据的公理和定理。
3、会判断直线与平面、平面与平面的位置关系。
2、了解如下可以作为推理依据的公理和定理。
3、会判断直线与平面、平面与平面的位置关系。
◎ 平面的基本性质的考试要求
能力要求：知道
课时要求：40
考试频率：选考
分值比重：3
课时要求：40
考试频率：选考
分值比重：3