2019年12月以来，湖北武汉市发现多起病毒性肺炎病例，并迅速在全国范围内开始传播，专家组认为，本次病毒性肺炎病例的病原体初步判定为新型冠状病毒，该病毒存在人与人之间的传染，可以通过与患者的密切接触进行传染.我们把与患者有过密切接触的人群称为密切接触者，每位密切接触者被感染后即被称为患者.已知每位密切接触者在接触一个患者后被感染的概率为
，某位患者在隔离之前，每天有
位密切接触者，其中被感染的人数为
，假设每位密切接触者不再接触其他患者.
（1）求一天内被感染人数为
的概率
与、
的关系式和的数学期望；
（2）该病毒在进入人体后有14天的潜伏期，在这14天的潜伏期内患者无任何症状，为病毒传播的最佳时间，设每位患者在被感染后的第二天又有位密切接触者，从某一名患者被感染，按第1天算起，第
天新增患者的数学期望记为
.
（i）求数列
的通项公式，并证明数列为等比数列；
（ii）若戴口罩能降低每位密切接触者患病概率，降低后的患病概率
，当
取最大值时，计算此时所对应的
值和此时对应的
值，根据计算结果说明戴口罩的必要性.（取
）
（结果保留整数，参考数据：
）
【收录时间】
2021-01-06
【知识点】
概率
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（1）
；
.
（2）（i）
，证明见解析；（ii）16，6480，戴口罩很有必要.
【分析】
（1）由题意，被感染人数服从二项分布：
，则可求出概率及数学期望；
（2）（i）根据第
天被感染人数为
，及第
天被感染人数为
，
作差可得可得，
，可证，（ii）利用导数计算此时
所对应的
值和此时
对应的
值，根据计算结果说明戴口罩的必要性.
【详解】
（1）由题意，被感染人数服从二项分布：，
则
,
，
的数学期望
.
（2）（i）第天被感染人数为，
第天被感染人数为，
由题目中均值的定义可知，
则
，且
.
是以
为首项，
为公比的等比数列.
（ii）令
，
则
.
在
上单调递增，在
上单调递减.
.
则当
，
.
.
.
戴口罩很有必要.
【点睛】
本题考查二项分布的概率及期望，数学期望与数列综合，考查综合分析及转化能力，考查知识的迁移能力，属于较难题.
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2021-01-06
解答题
偏难
王生云
考点梳理：
根据可圈可点权威老师分析，试题 "
2019年12月以来，湖北武汉市发现多起病毒性肺炎病例，并迅速在全国范围内
" 主要考察你对
随机事件及其概率
等考点的理解。关于这些考点的"梳理资料"如下:
◎ 随机事件及其概率的定义
随机事件的定义：
在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件，随机事件通常用大写英文字母A、B、C等表示。
必然事件的定义：
必然会发生的事件叫做必然事件；
不可能事件：
肯定不会发生的事件叫做不可能事件；
概率的定义：
在大量进行重复试验时，事件A发生的频率
总是接近于某个常数，在它附近摆动。这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）。
m，n的意义：事件A在n次试验中发生了m次。
因0≤m≤n，所以，0≤P（A）≤1，必然事件的概率为1，不可能发生的事件的概率0。
随机事件概率的定义：
对于给定的随机事件A，随着试验次数的增加，事件A发生的频率
总是接近于区间[0，1]中的某个常数，我们就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）。
◎ 随机事件及其概率的知识扩展
1、随机事件：在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件，随机事件通常用大写英文字母A、B、C等表示。
2、必然会发生的事件叫做必然事件；
肯定不会发生的事件叫做不可能事件；
3、概率的定义：在大量进行重复试验时，事件A发生的频率总是接近于某个常数，在它附近摆动。这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）。
m，n的意义：事件A在n次试验中发生了m次。
因0≤m≤n，所以，0≤P（A）≤1，必然事件的概率为1，不可能发生的事件的概率0。
4、随机事件概率的定义：对于给定的随机事件A，随着试验次数的增加，事件A发生的频率总是接近于区间[0，1]中的某个常数，我们就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）。
5、（1）频率的稳定性：即大量重复试验时，任何结果（事件）出现的频率尽管是随机的，却“稳定”在某一个常数附近，试验的次数越多，频率与这个常数的偏差大的可能性越小，这一常数就成为该事件的概率；
（2）“频率”和“概率”这两个概念的区别是：频率具有随机性，它反映的是某一随机事件出现的频繁程度，它反映的是随机事件出现的可能性；概率是一个客观常数，它反映了随机事件的属性。
2、必然会发生的事件叫做必然事件；
肯定不会发生的事件叫做不可能事件；
3、概率的定义：在大量进行重复试验时，事件A发生的频率
总是接近于某个常数，在它附近摆动。这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）。 m，n的意义：事件A在n次试验中发生了m次。
因0≤m≤n，所以，0≤P（A）≤1，必然事件的概率为1，不可能发生的事件的概率0。
4、随机事件概率的定义：对于给定的随机事件A，随着试验次数的增加，事件A发生的频率
总是接近于区间[0，1]中的某个常数，我们就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）。5、（1）频率的稳定性：即大量重复试验时，任何结果（事件）出现的频率尽管是随机的，却“稳定”在某一个常数附近，试验的次数越多，频率与这个常数的偏差大的可能性越小，这一常数就成为该事件的概率；
（2）“频率”和“概率”这两个概念的区别是：频率具有随机性，它反映的是某一随机事件出现的频繁程度，它反映的是随机事件出现的可能性；概率是一个客观常数，它反映了随机事件的属性。
◎ 随机事件及其概率的特性
频率的稳定性：
即大量重复试验时，任何结果（事件）出现的频率尽管是随机的，却“稳定”在某一个常数附近，试验的次数越多，频率与这个常数的偏差大的可能性越小，这一常数就成为该事件的概率；
◎ 随机事件及其概率的知识对比
“频率”和“概率”这两个概念的区别是：
频率具有随机性，它反映的是某一随机事件出现的频繁程度，它反映的是随机事件出现的可能性；概率是一个客观常数，它反映了随机事件的属性。
◎ 随机事件及其概率的教学目标
1、了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性。
2、了解概率的意义。
3、了解频率与概率的区别。
2、了解概率的意义。
3、了解频率与概率的区别。
◎ 随机事件及其概率的考试要求
能力要求：理解
课时要求：20
考试频率：选考
分值比重：3
课时要求：20
考试频率：选考
分值比重：3