已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；
（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
【收录时间】
2020-12-29
【知识点】
圆锥曲线与方程
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(Ⅰ) 
，
；
(Ⅱ)见解析.
【分析】
(Ⅰ)由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程；
(Ⅱ)联立准线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径，从而确定圆的方程，最后令x=0即可证得题中的结论.
【详解】
(Ⅰ)将点
代入抛物线方程：
可得：
，
故抛物线方程为：，其准线方程为：.
(Ⅱ)很明显直线
的斜率存在，焦点坐标为
，
设直线方程为
，与抛物线方程联立可得：
.
故：
.
设
，则
，
直线
的方程为
，与
联立可得：
，同理可得
，
易知以AB为直径的圆的圆心坐标为：
，圆的半径为：
，
且：
，
，
则圆的方程为：
，
令
整理可得：
，解得：
，
即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点
.
【点睛】
本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求解及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
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2020-12-29
解答题
中等
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