已知命题p:表示双曲线,命题q:表示椭圆.
(1)若命题p与命题q都为真命题,则p是q的什么条件?
(2)若p∧q为假命题,且p∨q为真命题,求实数m的取值范围.
解:(1)∵命题p:=1表示双曲线是真命题,
∴(m-1)(m-4)<0.解得1<m<4.
又∵命题q:=1表示椭圆是真命题,
解得2<m<3或3<m<4.
∵{m|1<m<4}⊇{2<m<3或3<m<4},
∴p是q的必要而不充分条件.
(2)∵p∧q为假命题,且p∨q为真命题,
∴p,q一真一假.
当p真q假时,由(1)可知,
p为真,有1<m<4,①
q为假,有m≤2或m=3或m≥4②
由①②解得1<m≤2或m=3.
当p假q真时,由(1)可知,
p为假,有m≤1或m≥4,③
q为真,有2<m<3或3<m<4④
由③④解得,无解.
综上,可得实数m的取值范围为1<m≤2或m=3.
命题的概念:
1、命题:把语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句称为命题;
2、真命题、假命题:判断为真的语句称为真命题,判断为假的语句称为假命题。
注意:
1、并不是所有的语句都是命题,只有能够判断真假的语句才是命题。
2、如果一个语句是命题,则它是真命题或是假命题,二者必具其一。
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