已知函数
．
（1）当
时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．
【收录时间】
2020-07-17
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（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，求出与坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果；
（2）解法一：利用导数研究，得到函数
得导函数
的单调递增，当a=1时由
得
,符合题意；当a>1时，可证
，从而
存在零点
，使得
，得到
，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得
恒成立；当
时，研究
.即可得到不符合题意.综合可得a的取值范围.
解法二：利用指数对数的运算可将
,
令
,上述不等式等价于
,注意到
的单调性，进一步等价转化为
，令
,利用导数求得
，进而根据不等式恒成立的意义得到关于a的对数不等式，解得a的取值范围.
【详解】（1）
，
，
.
，∴切点坐标为(1,1+e),
∴函数f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为
,即
,
切线与坐标轴交点坐标分别为
,
∴所求三角形面积为
;
（2）解法一：
,
，且
.
设
,则
∴g(x)在
上单调递增，即
在上单调递增，
当
时，
,∴,∴
成立.
当
时，
，
，
,
∴存在唯一，使得，且当
时
，当
时
，
，
，
因此
>1
∴
∴恒成立；
当时， 
∴
不是恒成立.
综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞).
解法二：
等价于
,
令,上述不等式等价于,
显然为单调增函数，∴又等价于
，即，
令,则
在
上h’(x)>0,h(x)单调递增；在(1,+∞)上h’(x)<0,h(x)单调递减，
∴
,
，∴a的取值范围是[1,+∞).
【点睛】本题考查导数几何意义、利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，分类讨论思想和等价转化思想，属较难试题.
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2020-07-17
解答题
偏难
郑建光