已知椭圆C：
的离心率为
，且过点A（2，1）．
（1）求C的方程：
（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
【收录时间】
2020-07-11
【知识点】
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（1）
；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
(1)设出椭圆方程，由题意得到关于a,b,c的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.
(2)设出点M，N的坐标，联立直线方程与椭圆方程可证得直线MN恒过定点，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q的位置.
【详解】(1)设椭圆方程为：
，由题意可得：
，
解得：
，故椭圆方程为：.
(2)设点
.因为AM⊥AN，所以
.
整理可得：
①
设MN的方程为y=kx+m，
联立直线与椭圆方程可得：
，
韦达定理可得：
，
，
，
代入①式有：
，
化简可得：
，
即
，
据此可得：
或
，
所以直线MN的方程为
或
，
即
或
，
所以直线过定点
或
.
又因为和A点重合，所以舍去，则直线过定点
.
由于AE为定值，且△AED为直角三角形，AE为斜边，
所以AE中点Q满足
为定值（AE长度的一半
）.
由于
，故由中点坐标公式可得
.
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中
每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
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2020-07-11
解答题
中等
邓小军