已知复数
均为实数，
为虚数单位，且对于任意复数
。
（Ⅰ）试求
的值，并分别写出
和
用
、
表示的关系式；
（Ⅱ）将(、)作为点
的坐标，(、)作为点
的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点变到这一平面上的点，当点在直线
上移动时，试求点经该变换后得到的点的轨迹方程；
（Ⅲ）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由。
【收录时间】
2021-07-13
【知识点】
数系的扩充与复数的引入
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[解]（1）由题设，
，
于是由
，
因此由
，
得关系式
[解]（2）设点
在直线
上，则其经变换后的点
满足
，
消去
，得
，
故点
的轨迹方程为
[解]（3）假设存在这样的直线，∵平行坐标轴的直线显然不满足条件，
∴所求直线可设为
，
[解法一]∵该直线上的任一点，其经变换后得到的点
仍在该直线上，
∴
，
即
，
当
时，方程组
无解，
故这样的直线不存在。
当
时，由
得
，
解得
或
，
故这样的直线存在，其方程为
或
，
[解法二]取直线上一点
，其经变换后的点
仍在该直线上，
∴
，
得， …（14分）
故所求直线为
，取直线上一点
，其经变换后得到的点
仍在该直线上。
∴
，
即，得或，
故这样的直线存在，其方程为或
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2021-07-13
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