已知双曲线 的右焦点为
，渐近线方程为
．
(1) 求 C 的方程；
(2) 过 F 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A ， B 两点，点 在 C 上，且
．过 P 且斜率为
的直线与过 Q 且斜率为
的直线交于点 M . 从下面 ①②③ 中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
① M 在 上； ②
； ③
．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分 .
答案
(1)
(2) 见解析
【分析】（ 1 ）利用焦点坐标求得 的值，利用渐近线方程求得
的关系，进而利用
的平方关系求得
的值，得到双曲线的方程；
（ 2 ）先分析得到直线 的斜率存在且不为零，设直线 AB 的斜率为 k , M ( x 0 , y 0 ), 由 ③| AM |=| BM | 等价分析得到
；由直线
和
的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线 PQ 的斜率
，由 ②
等价转化为
，由 ①
在直线
上等价于
，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可 .
【详解】（ 1 ）右焦点为 ， ∴
,∵ 渐近线方程为
， ∴
， ∴
， ∴
， ∴
， ∴
．
∴C 的方程为： ；
（ 2 ）由已知得直线 的斜率存在且不为零，直线
的斜率不为零，
若选由 ①② 推 ③ 或选由 ②③ 推 ① ：由 ② 成立可知直线 的斜率存在且不为零；
若选 ①③ 推 ② ，则 为线段
的中点，假若直线
的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知
在
轴上，即为焦点
, 此时由对称性可知
、
关于
轴对称，与从而
，已知不符；
总之，直线 的斜率存在且不为零 .
设直线 的斜率为
, 直线
方程为
,
则条件 ① 在
上，等价于
；
两渐近线的方程合并为 ,
联立消去 y 并化简整理得：
设 , 线段中点为
, 则
,
设 ,
则条件 ③ 等价于
,
移项并利用平方差公式整理得：
，
, 即
,
即 ；
由题意知直线 的斜率为
, 直线
的斜率为
,
∴ 由 ,
∴ ,
所以直线 的斜率
,
直线 , 即
,
代入双曲线的方程 , 即
中，
得： ,
解得 的横坐标：
,
同理： ，
∴
∴ ,
∴ 条件 ② 等价于
，
综上所述：
条件 ① 在
上，等价于
；
条件 ② 等价于
；
条件 ③ 等价于
；
选 ①② 推 ③:
由 ①② 解得： ,∴③ 成立；
选 ①③ 推 ② ：
由 ①③ 解得： ，
，
∴ ， ∴② 成立；
选 ②③ 推 ① ：
由 ②③ 解得： ，
， ∴
，
∴ ， ∴① 成立 .
