已知函数 的定义域为 R ,且 ,则 ( )
A . B . C . 0 D . 1
A
【分析】法一:根据题意赋值即可知函数 的一个周期为 ,求出函数一个周期中的 的值,即可解出.
【详解】 [ 方法一 ] :赋值加性质
因为 ,令 可得, ,所以 ,令 可得, ,即 ,所以函数 为偶函数,令 得, ,即有 ,从而可知 , ,故 ,即 ,所以函数 的一个周期为 .因为 , , , , ,所以
一个周期内的 .由于 22 除以 6 余 4 ,
所以 .故选: A .
[ 方法二 ] :【最优解】构造特殊函数
由 ,联想到余弦函数和差化积公式
,可设 ,则由方法一中 知 ,解得 ,取 ,
所以 ,则
,所以 符合条件,因此 的周期 , ,且 ,所以 ,
由于 22 除以 6 余 4 ,
所以 .故选: A .
【整体点评】法一:利用赋值法求出函数的周期,即可解出,是该题的通性通法;
法二:作为选择题,利用熟悉的函数使抽象问题具体化,简化推理过程,直接使用具体函数的性质解题,简单明了,是该题的最优解 .
分段函数:
1、分段函数:定义域中各段的x与y的对应法则不同,函数式是分两段或几段给出的;
分段函数是一个函数,定义域、值域都是各段的并集。
抽象函数:
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数;
一般形式为y=f(x),或许还附有定义域、值域等,如:y=f(x),(x>0,y>0)。
知识点拨:
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值,讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法:分段函数分段研究。
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