已知函数 和 有相同的最小值．

(1) 求 a ；

(2) 证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．

答案

(1)

(2) 见解析

【分析】（ 1 ）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求 a. 注意分类讨论 .

（ 2 ）根据（ 1 ）可得当 时， 的解的个数、 的解的个数均为 2 ，构建新函数 ，利用导数可得该函数只有一个零点且可得 的大小关系，根据存在直线 与曲线 、 有三个不同的交点可得 的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列 .

【详解】（ 1 ） 的定义域为 ，而 ，

若 ，则 ，此时 无最小值，故 .

的定义域为 ，而 .

当 时， ，故 在 上为减函数，

当 时， ，故 在 上为增函数，

故 .

当 时， ，故 在 上为减函数，

当 时， ，故 在 上为增函数，

故 .

因为 和 有相同的最小值，

故 ，整理得到 ，其中 ，

设 ，则 ，

故 为 上的减函数，而 ，

故 的唯一解为 ，故 的解为 .

综上， .

（ 2 ） [ 方法一 ] ：

由（ 1 ）可得 和 的最小值为 .

当 时，考虑 的解的个数、 的解的个数 .

设 ， ，

当 时， ，当 时， ，

故 在 上为减函数，在 上为增函数，

所以 ，

而 ， ，

设 ，其中 ，则 ，

故 在 上为增函数，故 ，

故 ，故 有两个不同的零点，即 的解的个数为 2.

设 ， ，

当 时， ，当 时， ，

故 在 上为减函数，在 上为增函数，

所以 ，

而 ， ，

有两个不同的零点即 的解的个数为 2.

当 ，由（ 1 ）讨论可得 、 仅有一个解，

当 时，由（ 1 ）讨论可得 、 均无根，

故若存在直线 与曲线 、 有三个不同的交点，

则 .

设 ，其中 ，故 ，

设 ， ，则 ，

故 在 上为增函数，故 即 ，

所以 ，所以 在 上为增函数，

而 ， ，

故 上有且只有一个零点 ， 且：

当 时， 即 即 ，

当 时， 即 即 ，

因此若存在直线 与曲线 、 有三个不同的交点，

故 ，

此时 有两个不同的根 ，

此时 有两个不同的根 ，

故 ， ， ，

所以 即 即 ，

故 为方程 的解，同理 也为方程 的解

又 可化为 即 即 ，

故 为方程 的解，同理 也为方程 的解，

所以 ，而 ，

故 即 .

[ 方法二 ] ：

由 知， ， ，

且 在 上单调递减，在 上单调递增；

在 上单调递减，在 上单调递增，且

① 时，此时 ，显然 与两条曲线 和

共有 0 个交点，不符合题意；

② 时，此时 ，

故 与两条曲线 和 共有 2 个交点，交点的横坐标分别为 0 和 1 ；

③ 时，首先，证明 与曲线 有 2 个交点，

即证明 有 2 个零点， ，

所以 在 上单调递减，在 上单调递增，

又因为 ， ， ，

令 ，则 ，

所以 在 上存在且只存在 1 个零点，设为 ，在 上存在且只存在 1 个零点，设为

其次，证明 与曲线和 有 2 个交点，

即证明 有 2 个零点， ，

所以 上单调递减，在 上单调递增，

又因为 ， ， ，

令 ，则 ，

所以 在 上存在且只存在 1 个零点，设为 ，在 上存在且只存在 1 个零点，设为

再次，证明存在 b ，使得

因为 ，所以 ，

若 ，则 ，即 ，

所以只需证明 在 上有解即可，

即 在 上有零点，

因为 ， ，

所以 在 上存在零点，取一零点为 ，令 即可，

此时取

则此时存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，

最后证明 ，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列，

因为

所以 ，

又因为 在 上单调递减， ， 即 ，所以 ，

同理，因为 ，

又因为 在 上单调递增， 即 ， ，所以 ，

又因为 ，所以 ，

即直线 与两条曲线 和 从左到右的三个交点的横坐标成等差数列 .

【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系 .