已知点 在双曲线 上，直线 l 交 C 于 P ， Q 两点，直线 的斜率之和为 0 ．

(1) 求 l 的斜率；

(2) 若 ，求 的面积．

答案

(1) ；

(2) ．

【分析】（ 1 ）由点 在双曲线上可求出 ，易知直线 l 的斜率存在，设 ， ，再根据 ，即可解出 l 的斜率；

（ 2 ）根据直线 的斜率之和为 0 可知直线 的倾斜角互补，根据 即可求出直线 的斜率，再分别联立直线 与双曲线方程求出点 的坐标，即可得到直线 的方程以及 的长，由点到直线的距离公式求出点 A 到直线 的距离，即可得出 的面积．

【详解】（ 1 ）因为点 在双曲线 上，所以 ，解得 ，即双曲线 ．

易知直线 l 的斜率存在，设 ， ，

联立 可得， ，

所以， ， 且 ．

所以由 可得， ，

即 ，

即 ，

所以 ，

化简得， ，即 ，

所以 或 ，

当 时，直线 过点 ，与题意不符，舍去，

故 ．

（ 2 ） ［方法一］：【最优解】常规转化

不妨设直线 的倾斜角为 ，因为 ，所以 ，由（ 1 ）知， ，

当 均在双曲线左支时， ，所以 ，

即 ，解得 （负值舍去）

此时 PA 与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去；

当 均在双曲线右支时，

因为 ，所以 ，即 ，

即 ，解得 （负值舍去），

于是，直线 ，直线 ，

联立 可得， ，

因为方程有一个根为 ，所以 ， ，

同理可得， ， ．

所以 ， ，点 到直线 的距离 ，

故 的面积为 ．

［方法二］：

设直线 AP 的倾斜角为 ， ，由 ，得 ，

由 ，得 ，即 ，

联立 ，及 得 ， ，

同理， ， ，故 ，

而 ， ，

由 ，得 ，

故

【整体点评】（ 2 ）法一：由第一问结论利用倾斜角的关系可求出直线 的斜率，从而联立求出点 坐标，进而求出三角形面积，思路清晰直接，是该题的通性通法，也是最优解；

法二：前面解答与法一求解点 坐标过程形式有所区别，最终目的一样，主要区别在于三角形面积公式的选择不一样．