已知椭圆 ， C 的上顶点为 A ，两个焦点为 ， ，离心率为 ．过 且垂直于 的直线与 C 交于 D ， E 两点， ，则 的周长是 ．

答案

13

【分析】利用离心率得到椭圆的方程为 ，根据离心率得到直线 的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线 的斜率，写出直线 的方程： ，代入椭圆方程 ，整理化简得到： ，利用弦长公式求得 ，得 ，根据对称性将 的周长转化为 的周长，利用椭圆的定义得到周长为 .

【详解】 ∵ 椭圆的离心率为 ， ∴ ， ∴ ， ∴ 椭圆的方程为 ，不妨设左焦点为 ，右焦点为 ，如图所示， ∵ ， ∴ ， ∴ 为正三角形， ∵ 过 且垂直于 的直线与 C 交于 D ， E 两点， 为线段 的垂直平分线， ∴ 直线 的斜率为 ，斜率倒数为 ， 直线 的方程： ，代入椭圆方程 ，整理化简得到： ，

判别式 ，

∴ ，

∴ ， 得 ，

∵ 为线段 的垂直平分线，根据对称性， ， ∴ 的周长等于 的周长，利用椭圆的定义得到 周长为 .

故答案为： 13.