已知函数 及其导函数 的定义域均为 ,记 ,若 , 均为偶函数,则( )
A . B . C . D .
BC
【分析】方法一:转化题设条件为函数的对称性,结合原函数与导函数图象的关系,根据函数的性质逐项判断即可得解 .
【详解】 [ 方法一 ] :对称性和周期性的关系研究
对于 ,因为 为偶函数,所以 即 ① ,所以 ,所以 关于 对称,则 ,故 C 正确;
对于 ,因为 为偶函数, , ,所以 关于 对称,由 ① 求导,和 ,得 ,所以 ,所以 关于 对称,因为其定义域为 R ,所以 ,结合 关于 对称,从而周期 ,所以 , ,故 B 正确, D 错误;
若函数 满足题设条件,则函数 ( C 为常数)也满足题设条件,所以无法确定 的函数值,故 A 错误 .
故选: BC.
[ 方法二 ] :【最优解】特殊值,构造函数法 .
由方法一知 周期为 2 ,关于 对称,故可设 ,则 ,显然 A , D 错误,选 BC.
故选: BC.
[ 方法三 ] :
因为 , 均为偶函数,
所以 即 , ,
所以 , ,则 ,故 C 正确;
函数 , 的图象分别关于直线 对称,
又 ,且函数 可导,
所以 ,
所以 ,所以 ,
所以 , ,故 B 正确, D 错误;
若函数 满足题设条件,则函数 ( C 为常数)也满足题设条件,所以无法确定 的函数值,故 A 错误 .
故选: BC.
【点评】方法一:根据题意赋值变换得到函数的性质,即可判断各选项的真假,转化难度较高,是该题的通性通法;
方法二:根据题意得出的性质构造特殊函数,再验证选项,简单明了,是该题的最优解.
分段函数:
1、分段函数:定义域中各段的x与y的对应法则不同,函数式是分两段或几段给出的;
分段函数是一个函数,定义域、值域都是各段的并集。
抽象函数:
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数;
一般形式为y=f(x),或许还附有定义域、值域等,如:y=f(x),(x>0,y>0)。
知识点拨:
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值,讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法:分段函数分段研究。
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