某地经过多年的环境治理,已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量,随机选取了 10 棵这种树木,测量每棵树的根部横截面积(单位: )和材积量(单位: ),得到如下数据:
样本号i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 总和 |
根部横截面积 | 0.04 | 0.06 | 0.04 | 0.08 | 0.08 | 0.05 | 0.05 | 0.07 | 0.07 | 0.06 | 0.6 |
材积量 | 0.25 | 0.40 | 0.22 | 0.54 | 0.51 | 0.34 | 0.36 | 0.46 | 0.42 | 0.40 | 3.9 |
并计算得 .
(1) 估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量;
(2) 求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到 0.01 );
(3) 现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积,并得到所有这种树木的根部横截面积总和为 .已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.
附:相关系数 .
(1) ;
(2)
(3)
【分析】( 1 )计算出样本的一棵根部横截面积的平均值及一棵材积量平均值,即可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量;
( 2 )代入题给相关系数公式去计算即可求得样本的相关系数值;
( 3 )依据树木的材积量与其根部横截面积近似成正比,列方程即可求得该林区这种树木的总材积量的估计值.
【详解】( 1 )样本中 10 棵这种树木的根部横截面积的平均值
样本中 10 棵这种树木的材积量的平均值
据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为 ,
平均一棵的材积量为
( 2 )
则
( 3 )设该林区这种树木的总材积量的估计值为 ,
又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比,
可得 ,解之得 .
则该林区这种树木的总材积量估计为
简单随机抽样的定义:
一般地,设一个总体含有N个个体,从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N),如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。
简单随机抽样的特点:
(1)用简单随机抽样从含有N个个体的总体中抽取一个容量为n的样本时,每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为;在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为;
(2)简单随机抽样的特点是,逐个抽取,且各个个体被抽到的概率相等;
(3)简单随机抽样方法,体现了抽样的客观性与公平性,是其他更复杂抽样方法的基础.
(4)简单随机抽样是不放回抽样;它是逐个地进行抽取;它是一种等概率抽样
简单抽样常用方法:
(1)抽签法:先将总体中的所有个体(共有N个)编号(号码可从1到N),并把号码写在形状、大小相同的号签上(号签可用小球、卡片、纸条等制作),然后将这些号签放在同一个箱子里,进行均匀搅拌,抽签时每次从中抽一个号签,连续抽取n次,就得到一个容量为n的样本适用范围:总体的个体数不多时优点:抽签法简便易行,当总体的个体数不太多时适宜采用抽签法.(2)随机数表法:随机数表抽样“三步曲”:第一步,将总体中的个体编号;第二步,选定开始的数字;第三步,获取样本号码概率:
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