已知 和 分别是函数 （ 且 ）的极小值点和极大值点．若 ，则 a 的取值范围是 ．

答案

【分析】法一：依题可知，方程 的两个根为 ，即函数 与函数 的图象有两个不同的交点，构造函数 ，利用指数函数的图象和图象变换得到 的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案 .

【详解】 [ 方法一 ] ：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点

因为 ，所以方程 的两个根为 ，

即方程 的两个根为 ，

即函数 与函数 的图象有两个不同的交点，

因为 分别是函数 的极小值点和极大值点，

所以函数 在 和 上递减，在 上递增，

所以当时 ， ，即 图象在 上方

当 时， ，即 图象在 下方

，图象显然不符合题意，所以 ．

令 ，则 ，

设过原点且与函数 的图象相切的直线的切点为 ，

则切线的斜率为 ，故切线方程为 ，

则有 ，解得 ，则切线的斜率为 ，

因为函数 与函数 的图象有两个不同的交点，

所以 ，解得 ，又 ，所以 ，

综上所述， 的取值范围为 ．

[ 方法二 ] ：【通性通法】构造新函数，二次求导

=0 的两个根为

因为 分别是函数 的极小值点和极大值点，

所以函数 在 和 上递减，在 上递增，

设函数 ，则 ，

若 ，则 在 上单调递增，此时若 ，则 在

上单调递减，在 上单调递增，此时若有 和 分别是函数

且 的极小值点和极大值点，则 ，不符合题意；

若 ，则 在 上单调递减，此时若 ，则 在 上单调递增，在 上单调递减，令 ，则 ，此时若有 和 分别是函数 且 的极小值点和极大值点，且 ，则需满足 ， ，即 故 ，所以 .

【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出 “ 小题小做 ” ，是该题的最优解；

法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于通性通法．