如图，已知椭圆 ．设 A ， B 是椭圆上异于 的两点，且点 在线段 上，直线 分别交直线 于 C ， D 两点．

(1) 求点 P 到椭圆上点的距离的最大值；

(2) 求 的最小值．

答案

(1) ；

(2) ．

【分析】（ 1 ）设 是椭圆上任意一点 , 再根据两点间的距离公式求出 ，再根据二次函数的性质即可求出；

（ 2 ）设直线 与椭圆方程联立可得 ，再将直线 方程与 的方程分别联立，可解得点 的坐标，再根据两点间的距离公式求出 ，最后代入化简可得 ，由柯西不等式即可求出最小值．

【详解】（ 1 ）设 是椭圆上任意一点 , ,

，当且仅当 时取等号，故 的最大值是 .

（ 2 ）设直线 , 直线 方程与椭圆 联立 , 可得 , 设 ，所以 ，

因为直线 与直线 交于 ,

则 , 同理可得 , . 则

，

当且仅当 时取等号，故 的最小值为 .

【点睛】本题主要考查最值的计算，第一问利用椭圆的参数方程以及二次函数的性质较好解决，第二问思路简单，运算量较大，求最值的过程中还使用到柯西不等式求最值，对学生的综合能力要求较高，属于较难题．