学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行 . 近年来，某市积极组织开展党史学习教育的活动，为调查活动开展的效果，市委宣传部对全市多个基层支部的党员进行了测试，并从中抽取了 1000 份试卷进行调查，根据这 1000 份试卷的成绩（单位：分，满分 100 分）得到如下频数分布表：

(1) 求这 1000 份试卷成绩的平均数？（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） .

(2) 假设此次测试的成绩 服从正态分布 ，其中 近似为样本平均数， 近似为样本方差 ，已知 的近似值为 6.61 ，以样本估计总体，假设有 84.14% 的学生的测试成绩高于市教育局预期的平均成绩，则市教育局预期的平均成绩大约为多少（结果保留一位小数）？

(3) 该市教育局准备从成绩在 内的 120 份试卷中用分层抽样的方法抽取 6 份，再从这 6 份试卷中随机抽取 3 份进行进一步分析，记 为抽取的 3 份试卷中测试成绩在 内的份数，求 的分布列和数学期望 .

参考数据：若 ，则 ， ， .

答案

(1)82.15 分

(2)75.5 分

(3) 分布列见解析，

【分析】（ 1 ）根据平均数的求法求得平均数 .

（ 2 ）结合正态分布的对称性求得市教育局预期的平均成绩 .

（ 3 ）利用超几何分布的分布列计算公式，计算出 的分布列并求得数学期望 .

【详解】（ 1 ）设这 1000 份试卷成绩的平均数为 ，则：

分 .

（ 2 ）由（ 1 ）得 ，而 ，

由于 ，

即 ，

所以市委宣传部预期平均成绩大约为 75.5 分；

（ 3 ）由分层抽样得抽取的 6 份试卷中 2 份在 内， 4 份在 内， 的可能取值为 0 ， 1 ， 2 ，

则 ， ，

即 的分布列为：

所以 .