甲、乙、丙、丁四人合资注册一家公司，每人出资 50 万元作为启动资金投入生产，到当年年底，资金增长了 50% ．预计以后每年资金年增长率与第一年相同．四人决定公司从第一年开始，每年年底拿出 60 万元分红，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第 n 年年底公司分红后的剩余资金为 万元．

(1) 求 ， ，并写出 与 的关系式；

(2) 至少经过多少年，公司分红后的剩余资金不低于 1200 万元？

（年数取整数，参考数据： ， ）

答案

(1)240 ， 300 ，

(2) 至少经过 7 年，公司分红后的剩余资金不低于 1200 万元

【分析】（ 1 ）根据题设条件可得 .

（ 2 ）由（ 1 ）中的递推关系可得 ，结合题设条件可得关于 的不等式，从而可得至少经过 7 年，公司分红后的剩余资金不低于 1200 万元 .

（ 1 ）

由题意得，投入生产的启动资金共有 50×4 ＝ 200 万元，

，

，

．

（ 2 ）

由（ 1 ）知

，

而 也满足该式，故 .

令 ，所以 ，

因为： ， ， 即 ．

所以至少经过 7 年，公司分红后的剩余资金不低于 1200 万元．