已知 同时满足下列三个条件： ① 时， 的最小值为 ； ② 是奇函数； ③ ，若 在 上没有最小值，则实数 的取值范围是（ ）

A ． B ． C ． D ．

答案

A

【分析】由条件 ① 得出函数的周期，进而求得 的值，结合条件 ②③ 讨论并确定 和 的值，得函数解析式，最后结合函数图像可求得 的取值范围

【详解】解：因函数 最大值为 1 ，最小值为 - 1 ，而 ，且 最小值为 ，所以 为相邻两条对称轴， ，

当 时， ，

是奇函数，

所以 ，解得 ，

，所以 ，

而 即 ，当 为偶数时成立，

此时 ，

当 时， ，

是奇函数，

所以 ，解得 ，即 ，

所以 ，

所以 ，

而 ，即 ，

当 为偶数时成立，所以 ，

综上得 ，

当 时， ，因 在 没有最小值，

则有函数 在 上没有最小值，

从而有 ，解得 ，

故选： A