新冠肺炎疫情发生以来，我国某科研机构开展应急科研攻关，研制了一种新型冠状病毒疫苗，并已进入二期临床试验 . 根据普遍规律，志愿者接种疫苗后体内会产生抗体，人体中检测到抗体，说明有抵御病毒的能力 . 通过检测，用 表示注射疫苗后的天数， 表示人体中抗体含量水平（单位： ，即：百万国际单位 / 毫升），现测得某志愿者的相关数据如下表所示：

根据以上数据，绘制了散点图 .

(1) 根据散点图判断， 与 （ a ， b ， c ， d 均为大于 0 的实数）哪一个更适宜作为描述 y 与 x 关系的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

(2) 根据（ 1 ）的判断结果求出 y 关于 x 的回归方程，并预测该志愿者在注射疫苗后的第 10 天的抗体含量水平值；

(3) 从这位志愿者的前 6 天的检测数据中随机抽取 4 天的数据作进一步的分析，记其中的 y 值大于 50 的天数为 X ，求 X 的分布列与数学期望 .

参考数据：

其中 . 参考公式：用最小二乘法求经过点 ， ， ， ， 的线性回归方程 的系数公式， ； .

答案

(1)

(2) ， 4023.87

(3) 分布列答案见解析，数学期望：

【解析】

【分析】

（ 1 ）由于这些点分布在一条曲线的附近，从而可选出回归方程，

（ 2 ）设 ， ，则建立 w 关于 x 的回归方程 ，然后根据公式和表中的数据求解回归方程即可，再将 代入回归方程可求得在注射疫苗后的第 10 天的抗体含量水平值，

（ 3 ）由题意可知 x 的可能取值为 0 ， 1 ， 2 ，然后求对应的概率，从而可求出分布列和期望

(1)

根据散点图可知这些点分布在一条曲线的附近，所以 更适合作为描述 y 与 x 关系的回归方程类型 .

(2)

设 ，变换后可得 ，

设 ，建立 w 关于 x 的回归方程 ，

，

所以

所以 w 关于 x 的回归方程为 ，

所以 ，

当 时， ，

即该志愿者在注射疫苗后的第 10 天的抗体含量水平值约为 4023.87 miu / mL .

(3)

由表格数据可知，第 5 ， 6 天的 y 值大于 50 ，

故 x 的可能取值为 0 ， 1 ， 2 ，

，

，

，

X 的分布列为

.