已知函数 =│ x +1│–│ x –2│.

（ 1 ）求不等式 ≥1 的解集；

（ 2 ）若不等式 ≥ x ² – x + m 的解集非空，求实数 m 的取值范围 .

答案

（ 1 ） ；（ 2 ） .

【分析】

（ 1 ）由于 f （ x ）＝ | x +1| ﹣ | x ﹣ 2| ，解不等式 f （ x ） ≥1 可分﹣ 1≤ x ≤2 与 x ＞ 2 两类讨论即可解得不等式 f （ x ） ≥1 的解集；

（ 2 ）依题意可得 m ≤[ f （ x ）﹣ x ² + x ] _max ，设 g （ x ）＝ f （ x ）﹣ x ² + x ，分 x ≤1 、﹣ 1 ＜ x ＜ 2 、 x ≥2 三类讨论，可求得 g （ x ） _max ，从而可得 m 的取值范围．

【详解】

解：（ 1 ） ∵ f （ x ）＝ | x +1| ﹣ | x ﹣ 2| ， f （ x ） ≥1 ，

∴ 当﹣ 1≤ x ≤2 时， 2 x ﹣ 1≥1 ，解得 1≤ x ≤2 ；

当 x ＞ 2 时， 3≥1 恒成立，故 x ＞ 2 ；

综上，不等式 f （ x ） ≥1 的解集为 { x | x ≥1} ．

（ 2 ）原式等价于存在 x ∈R 使得 f （ x ）﹣ x ² + x ≥ m 成立，

即 m ≤[ f （ x ）﹣ x ² + x ] _max ，设 g （ x ）＝ f （ x ）﹣ x ² + x ．

由（ 1 ）知， g （ x ） ，

当 x ≤ ﹣ 1 时， g （ x ）＝﹣ x ² + x ﹣ 3 ，其开口向下，对称轴方程为 x 1 ，

∴ g （ x ） ≤ g （﹣ 1 ）＝﹣ 1 ﹣ 1 ﹣ 3 ＝﹣ 5 ；

当﹣ 1 ＜ x ＜ 2 时， g （ x ）＝﹣ x ² +3 x ﹣ 1 ，其开口向下，对称轴方程为 x ∈ （﹣ 1 ， 2 ），

∴ g （ x ） ≤ g （ ） 1 ；

当 x ≥2 时， g （ x ）＝﹣ x ² + x +3 ，其开口向下，对称轴方程为 x 2 ，

∴ g （ x ） ≤ g （ 2 ）＝﹣ 4+2+3 ＝ 1 ；

综上， g （ x ） _max ，

∴ m 的取值范围为（﹣ ∞ ， ] ．

【点睛】

本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题．