设函数.
(1)若a=0时,求函数的单调递增区间;
(2)若函数在x=1时取极大值,求实数a的取值范围;
(3)设函数的零点个数为m,试求m的最大值.
(1)单调增区间为(1,+¥)(2)(3)2
【分析】
(1)求导得到函数的单调增区间.
(2)求导,讨论,,或,几种情况,分别计算函数极值得到答案.
(3)考虑,两种情况,求导得到单调区间,计算极值判断零点个数,得到答案.
【详解】
(1)当a=0时,,所以,由得x=1,
当xÎ(0,1)时,<0;当xÎ(1,+¥)时,>0,
所以函数的单调增区间为(1,+¥).
(2)由题意得,
令(x>0),则,
当≥0即时,>0恒成立,
故在(0,1)上递减,在(1,+¥)上递增,所以x=1是函数的极小值点,不满足;
当即时,此时>0恒成立,
在(0,1)上递减,在(1,+¥)上递增,所以x=1是函数的极小值点,不满足;
当即或时,
在(0,1)上递减,在(1,+¥)上递增,所以x=1是函数的极小值点,不满足;
当时,解得或(舍),
当时,设的两个零点为,,所以=1,不妨设0<<,
又,所以0<<1<,故,
当xÎ(0,)时,<0;当xÎ(,1)时,>0;当xÎ(1,)时,<0;当xÎ(,+¥)时,>0;
∴在(0,)上递减,在(,1)上递增,在(1,)上递减,在(,+¥)上递增;
所以x=1是函数极大值点,满足.
综上所述:.
(3)①由(2)知当时,函数在(0,1)上单调递减,在(1,+¥)上单调递增,故函数至多有两个零点,欲使有两个零点,需,得,
;
,,
故满足函数有2个零点.
②当时,由(2)知在(0,)上递减,在(,1)上递增,在(1,)上递减,在(,+¥)上递增;
而0<<1,所以,
此时函数也至多有两个零点
综上①②所述,函数的零点个数m的最大值为2.
【点睛】
本题考查了函数的单调区间,根据极值求参数,零点个数问题,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
平均变化率:
一般地,对于函数y =f(x),x1,x2是其定义域内不同的两点,那么函数的变化率可用式表示,我们把这个式子称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率,习惯上用表示,即平均变化率
上式中的值可正可负,但不为0.f(x)为常数函数时,
瞬时速度:
如果物体的运动规律是s=s(t),那么物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在t到这段时间内,当时平均速度的极限,即
若物体的运动方程为s=f(t),那么物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)就是平均速度v(t,d)为当d趋于0时的极限.
函数y=f(x)在x=x0处的导数的定义:
一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是,我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作或,即。
导函数:
如果函数y =f(x)在开区间(a,6)内的每一点都可导,则称在(a,b)内的值x为自变量,以x处的导数称为f(x为函数值的函数为fx)在(a,b)内的导函数,简称为f(x)在(a,b)内的导数,记作f′(x)或y′.即f′(x)=
切线及导数的几何意义:
(1)切线:PPn为曲线f(x)的割线,当点Pn(xn,f(xn))(n∈N)沿曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0))时,割线PPn趋近于确定的位置,这个确定的位置的直线PT称为点P处的切线。
(2)导数的几何意义:函数f(x)在x=x0处的导数就是切线PT的斜率k,即k=。
瞬时速度特别提醒:
①瞬时速度实质是平均速度当时的极限值.
②瞬时速度的计算必须先求出平均速度,再对平均速度取极限,
函数y=f(x)在x=x0处的导数特别提醒:
①当时,比值的极限存在,则f(x)在点x0处可导;若的极限不存在,则f(x)在点x0处不可导或无导数.
②自变量的增量可以为正,也可以为负,还可以时正时负,但.而函数的增量可正可负,也可以为0.
③在点x=x0处的导数的定义可变形为:
导函数的特点:
①导数的定义可变形为:
②可导的偶函数其导函数是奇函数,而可导的奇函数的导函数是偶函数,
③可导的周期函数其导函数仍为周期函数,
④并不是所有函数都有导函数.
⑤导函数与原来的函数f(x)有相同的定义域(a,b),且导函数在x0处的函数值即为函数f(x)在点x0处的导数值.
⑥区间一般指开区间,因为在其端点处不一定有增量(右端点无增量,左端点无减量).
导数的几何意义(即切线的斜率与方程)特别提醒:
①利用导数求曲线的切线方程.求出y=f(x)在x0处的导数f′(x);利用直线方程的点斜式写出切线方程为y-y0 =f′(x0)(x- x0).
②若函数在x= x0处可导,则图象在(x0,f(x0))处一定有切线,但若函数在x= x0处不可导,则图象在(x0,f(x0))处也可能有切线,即若曲线y =f(x)在点(x0,f(x0))处的导数不存在,但有切线,则切线与x轴垂直.
③注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线,前者P点为切点;后者P点不一定为切点,P点可以是切点也可以不是,一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点,
④显然f′(x0)>0,切线与x轴正向的夹角为锐角;f′(x0)<o,切线与x轴正向的夹角为钝角;f(x0) =0,切线与x轴平行;f′(x0)不存在,切线与y轴平行.
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