如果存在常数k使得无穷数列满足恒成立,则称为数列.
(1)若数列是数列,,,求;
(2)若等差数列是数列,求数列的通项公式;
(3)是否存在数列,使得,,,…是等比数列?若存在,请求出所有满足条件的数列;若不存在,请说明理由.
(1);(2)或或;(3)存在;满足条件的数列有无穷多个,其通项公式为.
【分析】
(1)根据数列的定义,得,,可求;
(2)根据数列的定义,得,分和两种情况讨论. 当,.当时,由是等差数列,对赋值,求出和公差,即求;
(3)假设存在满足条件的数列,设等比数列,,,…的公比为q.则有,,可得q=1,故当时,.当时,不妨设,且i为奇数,
由,可得.
即满足条件的数列有无穷多个,其通项公式为.
【详解】
(1)由数列是数列,得,,可得;
(2)由是数列知恒成立,取m=1得恒成立,
当,时满足题意,此时,
当时,由可得,取m=n=2得,
设公差为d,则解得或者,
综上,或或,经检验均合题意.
(3)假设存在满足条件的数列,
不妨设该等比数列,,,…的公比为q,
则有,
可得①
,
可得②
综上①②可得q=1,
故,代入得,
则当时,,
又,
当时,不妨设,且i为奇数,
由,
而,,,.
综上,满足条件的数列有无穷多个,其通项公式为.
【点睛】
本题考查创新型题目,考查等差数列和等比数列的通项公式,考查学生的逻辑推理能力和计算能力,属于难题.
数列的定义:
一般地按一定次序排列的一列数叫作数列,数列中的每一个数叫作这个数列的项,数列的一般形式可以写成,简记为数列{an},其中数列的第一项a1也称首项,an是数列的第n项,也叫数列的通项2、数列的递推公式:如果已知数列的第1项(或前几项),且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式,递推公式也是给出数列的一种方法。
1、定义:一般地按一定次序排列的一列数叫作数列,数列中的每一个数叫作这个数列的项,数列的一般形式可以写成,简记为数列{an},其中数列的第一项a1也称首项,an是数列的第n项,也叫数列的通项2、数列的递推公式:如果已知数列的第1项(或前几项),且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式,递推公式也是给出数列的一种方法。
从函数角度看数列:
数列可以看作是一个定义域为正整数集N'(或它的有限子集{l,2,3,…,n})的函数,即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值,这里说的函数是一种特殊函数,其特殊性为自变量只能取正整数,且只能从I开始依次增大.可以将序号作为横坐标,相应的项作为纵坐标描点画图来表示一个数列,从数列的图象可以看出数列中各项的变化情况。
特别提醒:
①数列是一个特殊的函数,因此在解决数列问题时,要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题,即用共性来解决特殊问题;
②还要注意数列的特殊性(离散型),由于它的定义域是N'或它的子集{1,2,…,n},因而它的图象是一系列孤立的点,而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线,因此在解决问题时,要充分利用这一特殊性.
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