如图，在一旅游区内原有两条互相垂直且相交于点O的道路l₁，l₂，一自然景观的边界近似为圆形，其半径约为1千米，景观的中心C到l₁，l₂的距离相等，点C到点O的距离约为10千米.现拟新建四条游览道路方便游客参观，具体方案：在线段OC上取一点P，新建一条道路OP，并过点P新建两条与圆C相切的道路PM，PN（M，N为切点），同时过点P新建一条与OP垂直的道路AB（A，B分别在l₁，l₂上）.为促进沿途旅游经济，新建道路长度之和越大越好，求新建道路长度之和的最大值.（所有道路宽度忽略不计）

答案

千米

【分析】

设ÐPCM＝q，用表示出各道路长，并求出和.然后求导，用导数知识求得最大值．

【详解】

解：连接CM，设ÐPCM＝q，则PC＝，PM＝PN＝tanq，

OP＝OC﹣PC＝10﹣，AB＝2OP＝20﹣，

设新建的道路长度之和为，

则，

由1＜PC≤10得≤＜1，设，(0，)，

则，，，令得

设，，q，，的情况如下表：

由表可知时有极大值也是最大值，此时，，，

.

答：新建道路长度之和的最大值为千米.

【点睛】

本题考查导数的实际应用，解题关键是建立三角函数的模型，引入参数ÐPCM＝q，把各道路长用表示，并求出和.