已知圆,直线.
(1)当为何值时,直线与圆相切.
(2)当直线与圆相交于、两点,且时,求直线的方程.
(1);(2)或.
【分析】
(1)将圆的方程化为标准形式,得出圆的圆心坐标和半径长,利用圆心到直线的距离等于半径,可计算出实数的值;
(2)利用弦长的一半、半径长和弦心距满足勾股定理可求得弦心距,利用点到直线的距离公式可求得实数的值,进而可得出直线的方程.
【详解】
(1)圆的标准方程为,圆心的坐标为,半径长为,
当直线与圆相切时,则,解得;
(2)由题意知,圆心到直线的距离为,
由点到直线的距离公式可得,整理得,解得或.
因此,直线的方程为或.
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系,考查利用直线与圆相切求参数以及根据弦长求直线方程,解答的核心就是圆心到直线的距离的计算,考查计算能力,属于中等题.
圆的定义:
平面内与一定点的距离等于定长的点的集合是圆。定点就是圆心,定长就是半径。
圆的标准方程:
圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,,圆心(a,b),半径为r;特别当圆心是(0,0),半径为r时,圆的标准方程为x2+y2=r2。
圆的一般方程:
圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,
当D2+E2-4F>0时,表示圆心在,半径为的圆;
当D2+E2-4F=0时,表示点;
当D2+E2-4F<0时,不表示任何图形。
圆的定义的理解:
(1)定位条件:圆心;定形条件:半径。
(2)当圆心位置与半径大小确定后,圆就唯一确定了.因此一个圆最基本的要素是圆心和半径.
圆的方程的理解:
(1)圆的标准方程中含有a,b,r三个独立的系数,因此,确定一个圆需三个独立的条件.其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定形条件.
(2)圆的标准方程的优点在于明确显示了圆心和半径.
(3)圆的一般方程形式的特点:
a.的系数相同且不等于零;
b.不含xy项.
(4)形如的方程表示圆的条件:
a.A=C≠0;
b.B=0;
c.即
几种特殊位置的圆的方程:
条件 | 标准方程 | 一般方程 |
圆心在原点 |
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过原点 |
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圆心在x轴上 |
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圆心在y轴上 |
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与x轴相切 |
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与y轴相切 |
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与x,y轴都相切 |
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圆心在x轴上且过原点 |
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圆心在y轴上且过原点 |
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