在直角坐标系中,曲线的方程为.以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求的直角坐标方程;
(2)若与有且仅有三个公共点,求的方程.
(1) .
(2) .
【解析】
分析:(1)就根据,以及,将方程中的相关的量代换,求得直角坐标方程;
(2)结合方程的形式,可以断定曲线是圆心为,半径为的圆,是过点且关于轴对称的两条射线,通过分析图形的特征,得到什么情况下会出现三个公共点,结合直线与圆的位置关系,得到k所满足的关系式,从而求得结果.
详解:(1)由,得的直角坐标方程为
.
(2)由(1)知是圆心为,半径为的圆.
由题设知,是过点且关于轴对称的两条射线.记轴右边的射线为,轴左边的射线为.由于在圆的外面,故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点,或与只有一个公共点且与有两个公共点.
当与只有一个公共点时,到所在直线的距离为,所以,故或.
经检验,当时,与没有公共点;当时,与只有一个公共点,与有两个公共点.
当与只有一个公共点时,到所在直线的距离为,所以,故或.
经检验,当时,与没有公共点;当时,与没有公共点.
综上,所求的方程为.
点睛:该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题,涉及到的知识点有曲线的极坐标方程向平面直角坐标方程的转化以及有关曲线相交交点个数的问题,在解题的过程中,需要明确极坐标和平面直角坐标之间的转换关系,以及曲线相交交点个数结合图形,将其转化为直线与圆的位置关系所对应的需要满足的条件,从而求得结果.
圆的定义:
平面内与一定点的距离等于定长的点的集合是圆。定点就是圆心,定长就是半径。
圆的标准方程:
圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,,圆心(a,b),半径为r;特别当圆心是(0,0),半径为r时,圆的标准方程为x2+y2=r2。
圆的一般方程:
圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,
当D2+E2-4F>0时,表示圆心在,半径为的圆;
当D2+E2-4F=0时,表示点;
当D2+E2-4F<0时,不表示任何图形。
圆的定义的理解:
(1)定位条件:圆心;定形条件:半径。
(2)当圆心位置与半径大小确定后,圆就唯一确定了.因此一个圆最基本的要素是圆心和半径.
圆的方程的理解:
(1)圆的标准方程中含有a,b,r三个独立的系数,因此,确定一个圆需三个独立的条件.其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定形条件.
(2)圆的标准方程的优点在于明确显示了圆心和半径.
(3)圆的一般方程形式的特点:
a.的系数相同且不等于零;
b.不含xy项.
(4)形如的方程表示圆的条件:
a.A=C≠0;
b.B=0;
c.即
几种特殊位置的圆的方程:
条件 | 标准方程 | 一般方程 |
圆心在原点 |
|
|
过原点 |
|
|
圆心在x轴上 |
|
|
圆心在y轴上 |
|
|
与x轴相切 |
|
|
与y轴相切 |
|
|
与x,y轴都相切 |
|
|
圆心在x轴上且过原点 |
|
|
圆心在y轴上且过原点 |
|
|
登录并加入会员可无限制查看知识点解析