已知为椭圆上一个动点,过点作圆的两条切线,切点分别是,,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
C
【详解】
分析:利用圆的切线与圆心和切点连线垂直得到直角三角形,设的夹角为2α,通过解直角三角形求出的长;利用向量的数量积公式表示出,再根据三角函数的二倍角公式化简函数,通过换元并结合基本不等式可求出最值.
详解:如图,的夹角为2α,
则.
∴.
令,
则,当且仅当,即
时等号成立,
∴的最小值为.
又点在椭圆的左端点时,的值最大,此时,
∴.
∴的最大值为.
∴的取值范围为.
故选C.
点睛:解答解析几何中的最值问题时,可选取适当的变量,将目标函数表示为该变量的函数,然后根据所得函数的解析式的特征选择求最值的方法,常用的方法有单调性法和基本不等式法.
两个向量的夹角的定义:
对于非零向量,,作称为向量,的夹角,当=0时,,同向,当=π时,,反向,
当时,垂直。
两个向量数量积的含义:
如果两个非零向量,,它们的夹角为,我们把数量叫做与的数量积(或内积或点积),记作:,即。
叫在上的投影。
规定:零向量与任一向量的数量积是0,注意数量积是一个实数,不再是一个向量。
两个向量数量积的几何意义:
数量积等于的模与在上的投影的乘积。
1、两个向量的夹角:对于非零向量,,作称为向量,的夹角,当=0时,,同向,当=π时,,反向,
当时,垂直。
2、含义:如果两个非零向量,,它们的夹角为,我们把数量叫做与的数量积(或内积或点积),记作:,即。
叫在上的投影。
规定:零向量与任一向量的数量积是0,注意数量积是一个实数,不再是一个向量。
3、几何意义:数量积等于的模与在上的投影的乘积。
4、向量数量积的性质:设两个非零向量
(1);
(2);
(3);
(4);
(5)当,同向时,;当与反向时,;当为锐角时,为正且,不同向,;当为钝角时,为负且,不反向,。
向量数量积的性质:
设两个非零向量
(1);
(2);
(3);
(4);
(5)当,同向时,;当与反向时,;当为锐角时,为正且,不同向,;当为钝角时,为负且,不反向,。
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