已知抛物线
，的焦点为
，过点的直线
的斜率为
，与抛物线
交于
，
两点，抛物线在点，处的切线分别为
，
，两条切线的交点为
．
（1）证明：
；
（2）若
的外接圆
与抛物线
有四个不同的交点，求直线的斜率的取值范围．
答案
（1）证明见解析（2）
或
【解析】
【分析】
（1）联立直线与抛物线的方程，利用根于系数关系，结合斜率表达式求得
即可；
（2）由（1）可知，圆是以
为直径的圆且圆的方程可化简为
，联立圆与抛物线的方程得到
，圆与抛物线有四个不同的交点等价于
【详解】
解：（1）证明：依题意有
，直线
，
设
，
，
，
，直线与抛物线相交，
联立方程
消去
，化简得
，
所以，
．
又因为
，所以直线的斜率
．
同理，直线的斜率
，
所以，
，
所以，直线
，即．
（2）由（1）可知，圆是以为直径的圆，
设
是圆上的一点，则
，
所以，圆的方程为
，
又因为
，
所以，圆的方程可化简为，
联立圆与抛物线得
消去，得
，
即
，即，
若方程与方程
有相同的实数根
，
则
，矛盾，
所以，方程与方程没有相同的实数根，
所以，圆与抛物线有四个不同的交点等价于，
综上所述，
．
【点睛】
本题考查抛物线的切线位置关系，考查抛物线与三角形外接圆交点个数问题，属于中档题．
