已知双曲线Γ₁：与圆Γ₂：x²+y²=4+b²（b＞0）交于点A（x_A，y_A）（第一象限），曲线Γ为Γ₁、Γ₂上取满足x＞|x_A|的部分．

（1）若x_A=，求b的值；

（2）当b=，Γ₂与x轴交点记作点F₁、F₂，P是曲线Γ上一点，且在第一象限，且|PF₁|=8，求∠F₁PF₂；

（3）过点D（0，）斜率为-的直线l与曲线Γ只有两个交点，记为M、N，用b表示，并求的取值范围．

答案

（1）2     （2）arccos   （3）（6+2，+∞）

【解析】解：（1）由x_A=，点A为曲线Γ₁与曲线Γ₂的交点，联立，解得y_A=，b=2；

（2）由题意可得F₁，F₂为曲线Γ₁的两个焦点，

由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=2a，又|PF₁|=8，2a=4，

所以|PF₂|=8-4=4，因为b=，则c==3，

所以|F₁F₂|=6，

在△PF₁F₂中，由余弦定理可得cos∠F₁PF₂==

由0＜∠F₁PF₂＜π，可得∠F₁PF₂=arccos；

（3）设直线l：，可得原点O到直线l的距离d=,所以直线l是圆的切线，设切点为M，

所以k_OM=，并设OM：y=x与圆x²+y²=4+b²联立，可得x²+=4+b²，

可得x=b，y=2，即M（b，2），

注意直线l与双曲线的斜率为负的渐近线平行，

所以只有当y_A＞2时，直线l才能与曲线Γ有两个交点，

由，

所以有4＜，解得b²＞2+2或b²＜2-2（舍去），

因为为在上的投影可得，=4+b²，

所以=4+b²＞6+2，

则∈（6+2，+∞）．

【考点】平面向量数量积的性质及其运算；直线与双曲线的综合．

【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．

【分析】（1）联立曲线Γ₁与曲线Γ₂的方程，以及x_A=，解方程可得b；

（2）由双曲线的定义和三角形的余弦定理，计算可得所求角；

（3）设直线l：，求得O到直线l的距离，判断直线l与圆的关系：相切，可设切点为M，考虑双曲线的渐近线方程，只有当y_A＞2时，直线l才能与曲线Γ有两个交点，解不等式可得b的范围，由向量投影的定义求得，进而得到所求范围．

【点评】本题考查双曲线与圆的定义和方程、性质，考查直线和圆的方程、双曲线的方程的联立，以及向量的数量积的几何意义，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．