在直角坐标系中,曲线参数方程为为参数.以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)当时,是什么曲线?
(2)当时,求与的公共点的直角坐标.
(1)曲线表示以坐标原点为圆心,半径为1的圆;(2).
【解析】
【分析】
(1)利用消去参数,求出曲线的普通方程,即可得出结论;
(2)当时,,曲线的参数方程化为为参数),两式相加消去参数,得普通方程,由,将曲线化为直角坐标方程,联立方程,即可求解.
【详解】(1)当时,曲线的参数方程为为参数),
两式平方相加得,
所以曲线表示以坐标原点为圆心,半径为1的圆;
(2)当时,曲线的参数方程为为参数),
所以,曲线的参数方程化为为参数),
两式相加得曲线方程为,
得,平方得,
曲线的极坐标方程为,
曲线直角坐标方程为,
联立方程,
整理得,解得或(舍去),
,公共点的直角坐标为.
【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化,极坐标方程与直角坐标方程互化,合理消元是解题的关系,要注意曲线坐标的范围,考查计算求解能力,属于中档题.
数轴(直线坐标系):
在直线上取定一点O,取定一个方向,再取一个长度单位,点O,长度单位和选定的方向三者就构成了直线上的坐标系,简称数轴.如图,
平面直角坐标系:
在平面上取两条互相垂直并选定了方向的直线,一条称为x轴,一条称为y轴,交点O为原点。再取一个单位长度,如此取定的两条互相垂直的且有方向的直线和长度单位构成平面上的一个直角坐标系,即为xOy。
如图:
平面上的伸缩变换:
设点P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,在变换的作用下,点P(x,y)对应到P'(x',y'),称为平面直角坐标系中的伸缩变换。
建立坐标系必须满足的条件:
任意一点都有确定的坐标与它对应;反之,依据一个点的坐标就能确定这个点的位置.
坐标系的作用:
①坐标系是刻画点的位置与其变化的参照物;
②可找到动点的轨迹方程,确定动点运动的轨迹(或范围);
③可通过数形结合,用代数的方法解决几何问题。
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