如图,已知圆G:(x-2)2+y2=r2是椭圆+y2=1的内接△ABC的内切圆,其中A为椭圆的左顶点.
(1)求圆G的半径r;
(2)过点M(0,1)作圆G的两条切线交椭圆于E,F两点,证明:直线EF与圆G相切.
(1)解:设B(2+r,y0),过圆心G作GD⊥AB于D,BC交长轴于H,图略.
由=得=,
即y0=.①
而B(2+r,y0)在椭圆上,
所以=1-==-②
由①②式得15r2+8r-12=0,
解得r=或r=-(舍去).
(2)证明:设过M(0,1)与圆(x-2)2+y2=相切的直线方程为y-1=kx,③
则=,即32k2+36k+5=0,
解得k1=,k2=.
将③代入+y2=1得(16k2+1)x2+32kx=0,则异于零的解为x=-.
设F(x1,k1x1+1),E(x2,k2x2+1),
则x1=-,x2=-.
则直线FE的斜率为kEF===.
于是直线FE的方程为
y+-1=(x+),
即y=x-,
则圆心(2,0)到直线FE的距离d==,
故结论成立.
圆的定义:
平面内与一定点的距离等于定长的点的集合是圆。定点就是圆心,定长就是半径。
圆的标准方程:
圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,,圆心(a,b),半径为r;特别当圆心是(0,0),半径为r时,圆的标准方程为x2+y2=r2。
圆的一般方程:
圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,
当D2+E2-4F>0时,表示圆心在,半径为的圆;
当D2+E2-4F=0时,表示点;
当D2+E2-4F<0时,不表示任何图形。
圆的定义的理解:
(1)定位条件:圆心;定形条件:半径。
(2)当圆心位置与半径大小确定后,圆就唯一确定了.因此一个圆最基本的要素是圆心和半径.
圆的方程的理解:
(1)圆的标准方程中含有a,b,r三个独立的系数,因此,确定一个圆需三个独立的条件.其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定形条件.
(2)圆的标准方程的优点在于明确显示了圆心和半径.
(3)圆的一般方程形式的特点:
a.的系数相同且不等于零;
b.不含xy项.
(4)形如的方程表示圆的条件:
a.A=C≠0;
b.B=0;
c.即
几种特殊位置的圆的方程:
条件 | 标准方程 | 一般方程 |
圆心在原点 |
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过原点 |
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圆心在x轴上 |
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圆心在y轴上 |
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与x轴相切 |
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与y轴相切 |
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与x,y轴都相切 |
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圆心在x轴上且过原点 |
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圆心在y轴上且过原点 |
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