已知曲线C的方程为ax2+ay2-2a2x-4y=0(a≠0,a为常数).
(1)判断曲线C的形状;
(2)设曲线C分别与x轴,y轴交于点A,B(A,B不同于原点O),试判断△AOB的面积S是否为定值?并证明你的判断;
(3)设直线l:y=-2x+4与曲线C交于不同的两点M,N,且|OM|=|ON|,求曲线C的方程.
解:(1)将曲线C的方程化为x2+y2-2ax-y=0⇒(x-a)2+(y-)2=a2+,
可知曲线C是以点(a,)为圆心,以为半径的圆.
(2)△AOB的面积S为定值.
证明如下:在曲线C的方程中令y=0,得ax(x-2a)=0,得点A(2a,0),
在曲线C方程中令x=0,
得y(ay-4)=0,
得点B(0,),
所以S=|OA|·|OB|=·|2a|·||=4(定值).
(3)因为圆C过坐标原点,
且|OM|=|ON|,
所以OC⊥MN,
所以=,
所以a=±2.
当a=-2时,圆心坐标为(-2,-1),圆的半径为.
圆心到直线l:y=-2x+4的距离
d==>,
直线l与圆C相离,不合题意舍去,
a=2时符合题意.
这时曲线C的方程为x2+y2-4x-2y=0.
圆的定义:
平面内与一定点的距离等于定长的点的集合是圆。定点就是圆心,定长就是半径。
圆的标准方程:
圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,,圆心(a,b),半径为r;特别当圆心是(0,0),半径为r时,圆的标准方程为x2+y2=r2。
圆的一般方程:
圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,
当D2+E2-4F>0时,表示圆心在,半径为的圆;
当D2+E2-4F=0时,表示点;
当D2+E2-4F<0时,不表示任何图形。
圆的定义的理解:
(1)定位条件:圆心;定形条件:半径。
(2)当圆心位置与半径大小确定后,圆就唯一确定了.因此一个圆最基本的要素是圆心和半径.
圆的方程的理解:
(1)圆的标准方程中含有a,b,r三个独立的系数,因此,确定一个圆需三个独立的条件.其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定形条件.
(2)圆的标准方程的优点在于明确显示了圆心和半径.
(3)圆的一般方程形式的特点:
a.的系数相同且不等于零;
b.不含xy项.
(4)形如的方程表示圆的条件:
a.A=C≠0;
b.B=0;
c.即
几种特殊位置的圆的方程:
条件 | 标准方程 | 一般方程 |
圆心在原点 |
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过原点 |
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圆心在x轴上 |
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圆心在y轴上 |
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与x轴相切 |
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与y轴相切 |
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与x,y轴都相切 |
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圆心在x轴上且过原点 |
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圆心在y轴上且过原点 |
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