用数学归纳法证明 能被 31 整除时，从 k 到 添加的项数共有（ ）项

A ． 7 B ． 6 C ． 5 D ． 4

已知数列 的前 项和为 ， ，且对任意的 均有 ，则下列三个命题中，所有真命题的序号是（ ）

① 存在实数 ，使得 为等差数列；

② 存在实数 ，使得 为等比数列；

③ 若存在 ，使得 ，则实数 唯一 .

A ． ① B ． ①③ C ． ②③ D ． ①②③

数列 满足 ， ，则下列说法正确的是（ ）

A ．若 ，则数列 单调递减

B ．若存在无数个自然数 ，使得 ，则

C ．当 时， 的最小值不存在

D ．当 时， 恒成立

已知数列 满足 ， （ ），记 为数列 的前 项和，则（ ）

A ． B ． C ． D ．

九连环是一种流传于我国民间的传统智力玩具 . 它用九个圆环相连成串，以解开为胜 . 它在中国有近两千年的历史，《红楼梦》中有林黛玉巧解九连环的记载 . 周邦彦也留下关于九连环的名句 “ 纵妙手、能解连环 .” 九连环有多种玩法，在某种玩法中 : 已知解下 1 个圆环最少需要移动圆环 1 次，解下 2 个圆环最少需要移动圆环 2 次，记 为解下 个圆环需要移动圆环的最少次数，且 ，则解下 8 个圆环所需要移动圆环的最 少次数为（ ）

A ． 30 B ． 90 C ． 170 D ． 341

设等比数列 的公比为 q ，其前 n 项和为 ，前 n 项积为 ，且满足条件 ， ， ，则下列选项正确的是（ ）

A ． B ．

C ． 是数列 中的最大项 D ．

在公比 q 为整数的等比数列 中， 是数列 的前 n 项和，若 ， ，则下列说法正确的是（ ）

A ． B ．数列 是等比数列

C ． D ．数列 是公差为 2 的等差数列

已知数列 的前 项和为 ，若 ，则当 取得最小值时， 的值可能是（ ）

A ． 7 B ． 8 C ． 9 D ． 10

已知 ， 数列 满足 ， 且对一切 ， 有 ，则（ ）

A ． 是等比数列 B ． 是等比数列

C ． 的前 项和为 D ．

设 是等差数列， 是其前 项的和，且 ， ，则下列结论正确的是（ ）

A ． B ． 与 是 的最大值

C ． D ．

若 ， ， ，则 _________ ．

已知数列 的前 项和为 ，则数列 的通项公式 _________.

已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则满足 的正整数 的最大值 为 ____

已知等差数列 的公差 不为零，等比数列 的公比 是小于 1 的正有理数．若 ， ，且 是正整数，则 的值可以是 ______ ．

若 为等比数列 的前 项和， ，则 ______ ．

已知数列 满足 ，且其前 n 项和 满足 ，请写出一个符合上述条件的数列的通项公式 ______ ．（写出一个即可）

已知公差不为 的等差数列 的前 项和为 ，若 ， ， ，则 的最小值为 __________ ．

已知递增的等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 ___________.

已知等差数列 的前 n 项和为 ，并且 ，若 对 恒成立，则正整数 的值为 ______.

已知等差数列 满足 ，则 __________.

在 ① ； ② ； ③ 三个条件中任选一个，补充到下面问题的横线处，并解答 .

已知数列 的前 项和为 ，且 ， _____.

(1) 求 ；

(2) 设 ，求数列 的前 项和 .

注 : 如果选捀多个条件解答，按第一个解答计分 .

已知数列 的前 项和为 ，且 ，数列 的前 项和

(1) 求数列 的通项公式；

(2) 设 ，求数列 的前 项和

已知 { an } 是等差数列， a ₁ =1 ， a ₄ =10 ，且 a ₁ ， ak ( k ∈N ^* ) ， a ₆ 是等比数列 { bn } 的前 3 项．

(1) 求数列 { an } ， { bn } 的通项公式；

(2) 数列 { cn } 是由数列 { an } 的项删去数列 { bn } 的项后仍按照原来的顺序构成的新数列，求数列 { cn } 的前 20 项的和．

已知无穷数列 的每一项均为正整数，且 ，记 的前 项和为 ．

(1) 若 ，求 的值；

(2) 若 ，求 的值；

(3) 证明：数列 中存在某一项 （ 为正整数）满足 ，并由此验证 1 或 3 是数列 中的项．

已知数列 的前 项和 满足： .

(1) 求 的通项公式；

(2) 设 ，求数列 的前 项和 .

已知正项数列 ， ， ， 是公差为 2 的等差数列．

(1) 求 的通项公式；

(2) 设 ，记数列 的前 项和为 ，求 ．

已知 为数列 的前 n 项和， ，且 ， ，记 ．

(1) 求数列 的通项公式；

(2) 记 ，证明： ．

甲、乙、丙、丁四人合资注册一家公司，每人出资 50 万元作为启动资金投入生产，到当年年底，资金增长了 50% ．预计以后每年资金年增长率与第一年相同．四人决定公司从第一年开始，每年年底拿出 60 万元分红，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第 n 年年底公司分红后的剩余资金为 万元．

(1) 求 ， ，并写出 与 的关系式；

(2) 至少经过多少年，公司分红后的剩余资金不低于 1200 万元？

（年数取整数，参考数据： ， ）

在 ① ， ② 这两个条件中任选一个填入在下面试题中的横线上，使得试题完整、并完成试题的探究求解．已知公比为 q 的等比数列 的首项为 ，且 ， ______

(1) 求实数 q 的值；

(2) 若数列 的前 n 项和为 ，试比较 与 1 的大小．

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．

已知数列 满足 ， ．等比数列 的公比为 3 ，且 ．

(1) 求数列 和 的通项公式；

(2) 记数列 ，求数列 的前 n 项和 ．

若等比数列 中 和 是方程 的两根，则 ，且 (        )

若数列 { an } 为等差数列，则 an _{＋ 1} ＝ an _{－ 1} ＋ 2 d ， n >1 ，且 n ∈N ^* .(      )

若数列 a ₁ ， a ₂ ， a ₃ ， a ₄ ， … 是等差数列，则数列 a ₁ ， a ₃ ， a ₅ ， … 也是等差数列 .(      )

若数列 a ₁ ， a ₃ ， a ₅ ， … 和 a ₂ ， a ₄ ， a ₆ … 都是公差为 d 的等差数列，则 a ₁ ， a ₂ ， a ₃ … 也是等差数列 .(      )

等差数列 { an } 中，必有 a ₁₀ ＝ a ₁ ＋ a ₉ .(      )