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阿波罗尼斯(约公元前年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点、间的距离为,动点满足,则的最小值为( )
A. B. C. D.
难度:中等 使用次数:160 入库时间:2019-12-06答案A 解析:以经过、的直线为轴,线段的垂直平分线轴,建立直角坐标系,
则、,设,,,
两边平方并整理得,
所以点的轨迹是以为圆心,为半径的圆,
则有,如下图所示:
当点为圆与轴的交点(靠近原点)时,此时,取最小值,且,
因此,,
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在正方体中,点平面,点是线段的中点,若,则当的面积取得最小值时,( )
A. B. C. D.
难度:容易 使用次数:164 入库时间:2019-12-06答案D解析:取的中点,连接,设.易得,所以平面,所以.易得,所以平面,所以.故平面,所以在直线上,可使得.由于,所以最短时三角形的面积取得最小值,此时点在点的位置.设正方体棱长为,故.,所以,所以,故,
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原点O在直线l上的射影为点H(-2,1),则直线l的方程为______________.
难度:容易 使用次数:194 入库时间:2019-12-06答案2x-y+5=0
解析:所求直线应过点(-2,1)且斜率为2,故可求直线为2x-y+5=0.
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如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,点P是上底面A1B1C1D1内一动点,则三棱锥PABC的正视图与侧视图的面积的比值为______________.
难度:中等 使用次数:131 入库时间:2019-12-06答案1
解析:三棱锥PABC的正视图与侧视图为底边和高均相等的三角形,故它们的面积相等,面积比值为1.
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求经过坐标原点和点P(1,1),并且圆心在直线2x+3y+1=0上的圆的方程____________.
难度:容易 使用次数:154 入库时间:2019-12-06答案(x-4)2+(y+3)2=25.
解析:设圆心为C(x,y).显然,所求圆的圆心在OP的垂直平分线上,OP的垂直平分线方程为=,即x+y-1=0.
解方程组得圆心C的坐标为(4,-3).
又圆的半径r=|OC|=5,
∴所求圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=25.
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四面体中,,,点是的中点,点在平面的射影恰好为的中点,则该四面体外接球的表面积为____________.
难度:中等 使用次数:140 入库时间:2019-12-06答案解析::如图,由题意得△BCD为等腰直角三角形,且,∴点E是△BCD外接圆的圆心.
∵点A在平面BCD上的射影恰好为DE的中点F,
∴,
∴.
设球心到平面BCD是距离为h, 则有, 解得,
∴四面体外接球的半径,
∴该四面体外接球的表面积为.
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四棱锥P-ABCD的底面ABCD为直角梯形,AB∥CD,AB⊥AD,AB=CD=1,PA⊥平面ABCD,PA=AD=.
(1)求证:PD⊥AB;
(2)求四棱锥P-ABCD的体积.
难度:中等 使用次数:195 入库时间:2019-12-06答案解析:(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,
所以PA⊥AB,
又因为AB⊥AD,AD∩PA=A,
所以AB⊥平面PAD,
又PD⊂平面PAD,所以AB⊥PD. 5分
(2)解:S梯形ABCD=(AB+CD)·AD=,
又PA⊥平面ABCD,
所以V四棱锥P-ABCD=×S梯形ABCD·PA=××=. 10分
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已知圆C:x2+y2-8y+12=0,直线l:ax+y+2a=0。
(1)当a为何值时,直线l与圆C相切;
(2)当直线l与圆C相交于A,B两点,且|AB|=2时,求直线l的方程。
难度:中等 使用次数:166 入库时间:2019-12-06答案解析: 将圆C的方程x2+y2-8y+12=0配方,得标准方程为x2+(y-4)2=4,则此圆的圆心为(0,4),半径为2。
(1)若直线l与圆C相切 ,则有=2,解得a=-。 6分
(2)过圆心C作CD⊥AB,则根据题意和圆的性质,得
解得a=-7或a=-1。故所求直线方程为7x-y+14=0或x-y+2=0。 12分
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如图,在三棱锥P-ABC中,D、E、F分别为棱PC、AC、AB的中点,已知PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.
求证:(1)直线PA∥面DEF;
(2)平面BDE⊥平面ABC.
难度:中等 使用次数:110 入库时间:2019-12-06答案解析:(1)在△PAC中,D、E分别为PC、AC中点,
则PA∥DE,PA面DEF,DE⊂面DEF,因此PA∥面DEF. 6分
(2)△DEF中,DE=PA=3,EF=BC=4,DF=5,
∴DF2=DE2+EF2,∴DE⊥EF,又PA⊥AC,∴DE⊥AC.
∴DE⊥面ABC,∴面BDE⊥面ABC. 12分
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如图,在四棱锥PABCD中,AD⊥平面PDC,AD∥BC,PD⊥PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.
(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值;
(2)求证:PD⊥平面PBC;
(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.
难度:中等 使用次数:171 入库时间:2019-12-06答案解析:(1)解:由已知AD∥BC,故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.
因为AD⊥平面PDC,直线PD⊂平面PDC,
所以AD⊥PD.
在Rt△PDA中,由已知,得AP==,
故cos∠DAP==.
所以异面直线AP与BC所成角的余弦值为. 4分
(2)证明:如图,由(1)知AD⊥PD.又因为BC∥AD,
所以PD⊥BC.
又PD⊥PB,PB∩BC=B,所以PD⊥平面PBC. 8分
(3)解:过点D作DF∥AB,交BC于点F,连接PF,则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.
因为PD⊥平面PBC,所以PF为DF在平面PBC上的射影,
所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角.
由于AD∥BC,DF∥AB,故BF=AD=1.
由已知,得CF=BC-BF=2.
又AD⊥DC,所以BC⊥DC.
在Rt△DCF中,可得DF==2;
在Rt△DPF中,可得sin∠DFP==.
所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为. 12分