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已知函数,.
(1)讨论函数的导函数的单调性;
(2)若函数在处取得极大值,求a的取值范围.
难度:中等 使用次数:64 入库时间:2019-12-06答案解:(1)∵,∴,∴,
①当时,,∴函数在上单调递增;
②当时,若,则;若,则,
∴函数在上单调递增,在上单调递减.
综上所述,当时.函数在上单调递增,
当时,函数在上单调递增,在上单调递减.
(2)∵,∴.
①由(1)知,当时,在上单调递增,
若,则;若,则,
∴在上单调递增,在上单调递减,∴在处取得极小值;不合题意;
②当时,在上单调递增,在上是单调递减,∴,
∴在上单调递减.∴无极值,不合题意;
③当时,,由(1)知,在上单调递增,∵,
∴若,则;若,则,
∴在上单调递增,在上单调递减,∴在处取得极小值,不合题意;
④当时,,由(1)知,在上单调递减,∵,
∴若,则;若,则.
∴在上单调递增,在上单调递减,
∴在处取得极大值,符合题意.
综上所述,a的取值范围是.
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某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动,决定对某“著名品牌”系列进行市场销售量调研,通过对该品牌的系列一个阶段的调研得知,发现系列每日的销售量(单位:千克)与销售价格
(元/千克)近似满足关系式,其中,为常数.已知销售价格为6元/千克时,每日可售出系列15千克.
(1)求函数的解析式;
(2)若系列的成本为4元/千克,试确定销售价格的值,使该商场每日销售系列所获得的利润最大.
难度:中等 使用次数:108 入库时间:2019-12-06答案解:(1)有题意可知,当时,,即,
解得,
所以.
(2)设该商场每日销售系列所获得的利润为,则
,
,
令,得或(舍去),
所以当时,为增函数;
当时,为减函数,
故当时,函数在区间内有极大值点,也是最大值点,
即时函数取得最大值.
所以当销售价格为5元/千克时,系列每日所获得的利润最大.